Question

【題目】閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，補(bǔ)全解題過(guò)程（完成點(diǎn)撥部分的填空），并解決問(wèn)題：例題：如圖1，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．求證：∠AMN＝60°

點(diǎn)撥：如圖2，作∠CBE＝60°，BE與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，得等邊△BEC，連結(jié)EM，易證△ABM≌△EBM（　 　），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，則EM＝MN，可得∠　 　＝∠　 　；

由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，進(jìn)一步可得∠1＝∠2＝∠　 　．

又因?yàn)椤?/span>2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．

問(wèn)題：如圖3，四邊形ABCD的四條邊都相等，四個(gè)角都等于90°，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是四邊形ABCD的外角∠DCH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．求∠AMN的度數(shù)．

Answer 1

【答案】點(diǎn)撥：SAS，3，4，5．問(wèn)題：∠AMN＝90°．

【解析】

點(diǎn)撥:根據(jù)全等知識(shí)及角度轉(zhuǎn)換補(bǔ)全證明過(guò)程即可；問(wèn)題：延長(zhǎng)AB至E，使EB＝AB，連接EM、EC，則EB＝BC，∠EBM＝∠ABM＝90°，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BEC＝∠BCE＝45°，證出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三點(diǎn)共線，由SAS證明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠4，證出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出結(jié)論．

解：點(diǎn)撥：如圖2，作∠CBE＝60°，BE與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，得等邊△BEC，連結(jié)EM，易證△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，則EM＝MN，可得∠3＝∠4；

由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，進(jìn)一步可得∠1＝∠2＝∠5．

又因?yàn)椤?/span>2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．

問(wèn)題：延長(zhǎng)AB至E，使EB＝AB，連接EM、EC，如圖所示：

則EB＝BC，∠EBM＝∠ABM＝90°，

∴△EBC是等腰直角三角形，

∴∠BEC＝∠BCE＝45°，

∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分線上一點(diǎn)，

∴∠MCN＝90°+45°＝135°，

∴∠BCE+∠MCN＝180°，

∴E、C、N，三點(diǎn)共線，

在△ABM和△EBM中，，

∴△ABM≌△EBM（SAS），

∴AM＝EM，∠1＝∠2，

∵AM＝MN，

∴EM＝MN，

∴∠3＝∠4，

∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，

∴∠1＝∠2＝∠5，

∵∠1+∠6＝90°，

∴∠5+∠6＝90°，

∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．