Question

如圖，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AO交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作DC⊥OA交AB于點(diǎn)D
（1）求證：∠DOC=∠BDO；
（2）若⊙O的半徑為4，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到直角三角形，從而根據(jù)HL證明直角三角形全等，即可得到對(duì)應(yīng)角相等；
（2）陰影部分的面積=直角△AOB的面積-直角△ACD的面積-扇形OBC的面積．

解答：（1）證明：∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB，即∠B=90°．
又∵DC⊥OA，
∴∠OCD=90°．
在Rt△COD與Rt△BOD中，

OD=OD OB=OC

，
∴Rt△COD≌Rt△BOD（HL），
∴∠CDO=∠BDO．

（2）解：在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴OA=8，
AC=OA-OC=8-4=4．
在Rt△ACD中，tan∠A=

CD

AC

，
又∵∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC•tan30°=

4 3

3

，
∴S_{四邊形OCDB}=2S_△OCD=2×

1

2

×4×

4 3

3

=

16 3

3

，
又∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°．
∴S_扇形OBC=

60π×42

360

=

8π

3

∴S_陰影=S_{四邊形OCDB}-S_扇形OBC=

16 3

3

-

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，能夠根據(jù)切線的性質(zhì)定理發(fā)現(xiàn)直角三角形，熟練運(yùn)用HL判定直角三角形全等，能夠把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．