根據(jù)程序設(shè)定，機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：如圖，先從點(diǎn)O沿北偏東60°方向行走一段時(shí)間到點(diǎn)P后，立即再向正北方向行走一段時(shí)間到點(diǎn)Q．但何時(shí)改變方向不定，假設(shè)機(jī)器人行走速度為2m/min，機(jī)器人行走3min時(shí)到達(dá)的位置為點(diǎn)Q．
（1）若OP=2PQ，則O、Q兩點(diǎn)之間的距離為
 
m；
（2）求O、Q兩點(diǎn)之間的最短距離；
（3）機(jī)器人是否可能遇到在點(diǎn)O的東北方向且與點(diǎn)O距離為4
2
m處的目標(biāo)T？請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題
專題：
分析：（1）由于速度一定時(shí)，路程與時(shí)間成正比，所以若OP=2PQ，則機(jī)器人先從點(diǎn)O行走2min到點(diǎn)P后，再行走1min到點(diǎn)Q．于是OP=4m，PQ=2m．延長(zhǎng)QP交東西方向的直線于點(diǎn)A，解直角△OAP，得出AP=
1
2
OP=2，OA=2
3
，然后在直角△OAQ中利用勾股定理即可求出OQ；
（2）設(shè)機(jī)器人先從點(diǎn)O行走tmin到點(diǎn)P，則行走（3-t）min到點(diǎn)Q．根據(jù)余弦定理得出OQ的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）假設(shè)機(jī)器人可能遇到在點(diǎn)O的東北方向且與點(diǎn)O距離為4
2
m處的目標(biāo)T．先解直角△OAP，得出AP=OA•tan∠AOP=
4
3
3
m，OP=2AP=
8
3
3
m，則TP=AT-AP=（4-
4
3
3
）m，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度得到機(jī)器人從點(diǎn)O行走到點(diǎn)P所用時(shí)間：
8
3
3
÷2=
4
3
3
（min），那么機(jī)器人再向正北方向行走路程為：2（3-
4
3
3
）=6-
8
3
3
，然后比較6-
8
3
3
與4-
4
3
3
的大小，如果6-
8
3
3
＜4-
4
3
3
，則機(jī)器人不可能遇到在點(diǎn)O的東北方向且與點(diǎn)O距離為4
2
m處的目標(biāo)T；反之則可以遇到．
解答：解：（1）如圖，若OP=2PQ，則OP=4m，PQ=2m．
延長(zhǎng)QP交東西方向的直線于點(diǎn)A，連結(jié)OQ．
在直角△OAP中，∵∠OAP=90°，∠AOP=30°，
∴AP=
1
2
OP=2m，OA=2
3
m，
∴AQ=AP+PQ=4m．
在直角△OAQ中，∵∠OAQ=90°，
∴OQ2=OA2+AQ2=（2
3
）2+42=28，
∴OQ=2
7
（m）．
故答案為2
7
；

（2）設(shè)機(jī)器人先從點(diǎn)O行走tmin到點(diǎn)P，則行走（3-t）min到點(diǎn)Q．
在△OPQ中，∵OP=2t，PQ=2（3-t），∠OPQ=120°，
∴OQ2=OP2+PQ2-2OP•PQ•cos∠OPQ
=（2t）2+[2（3-t）]2-2×2t×2（3-t）×cos120°
=4t2+4（3-t）2+4t（3-t）
=4t2-12t+36
=4（t-1.5）2+27，
∴當(dāng)t=1.5時(shí)，OQ有最小值
27
=3
3
，
即O、Q兩點(diǎn)之間的最短距離為3
3
m；

（3）機(jī)器人不可能遇到在點(diǎn)O的東北方向且與點(diǎn)O距離為4
2
m處的目標(biāo)T．理由如下：
如圖，△OAT是等腰直角三角形，OT=4
2
m，∠OAT=90°，所以O(shè)A=AT=4m．
假設(shè)機(jī)器人可能遇到在點(diǎn)O的東北方向且與點(diǎn)O距離為4
2
m處的目標(biāo)T．
在直角△OAP中，∵∠OAP=90°，∠AOP=30°，
∴AP=OA•tan∠AOP=
4
3
3
m，OP=2AP=
8
3
3
m，
∴TP=AT-AP=（4-
4
3
3
）m，
機(jī)器人從點(diǎn)O行走到點(diǎn)P所用時(shí)間：
8
3
3
÷2=
4
3
3
（min），
∴機(jī)器人再向正北方向行走路程為：2（3-
4
3
3
）=6-
8
3
3
．
∵（6-
8
3
3
）-（4-
4
3
3
）=2-
4
3
3
＜0，
∴機(jī)器人不可能遇到在點(diǎn)O的東北方向且與點(diǎn)O距離為4
2
m處的目標(biāo)T．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，其中涉及到勾股定理，余弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，并且利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線y=
k
x
（x＞0）的一支在第一象限交梯形對(duì)角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2）．
①請(qǐng)直接寫出射線OC的解析式；
②求陰影部分面積S的值最小時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若
OD
OC
=
1
3
，S△OAC=4，請(qǐng)直接寫出雙曲線的解析式．

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如圖，線段AC、BD交于點(diǎn)M，過(guò)B、D兩點(diǎn)分別作AC的垂線段BF、DE，
（1）若AB=CD，∠A=∠C，求證：FM=EM；
（2）若AB=CD，F(xiàn)M=EM，求證：∠A=∠C．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖①，AB=CD，AD=BC．O為AC中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線分別與AD，BC相交于點(diǎn)M，N．
（1）那么∠1與∠2有什么關(guān)系？AM，CN有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若將過(guò)O點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)至圖②③的情況時(shí)，其他條件不變，那么①中的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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如圖，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AO交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作DC⊥OA交AB于點(diǎn)D
（1）求證：∠DOC=∠BDO；
（2）若⊙O的半徑為4，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）

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如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為正比例函數(shù)y=kx上一點(diǎn)，是否存在這樣的k值，使得△AOP與△BOP的面積之比為
1
2
？若存在，求k值；若不存在，說(shuō)明理由．

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如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF長(zhǎng)的最小值是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=
x-1
x+1
中，自變量x的取值范圍是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

4的算術(shù)平方根為（　　）
A、2B、±2C、-2D、16

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同步練習(xí)冊(cè)答案