【題目】P是⊙O內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的任意一條弦AB,我們把PAPB的值稱為點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”
(1)⊙O的半徑為6,OP=4.
①如圖1,若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn),則點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為_____;
②判斷當(dāng)弦AB的位置改變時(shí),點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”是否為定值,若是定值,證明你的結(jié)論;若不是定值,求點(diǎn)P關(guān)于⊙0的“冪值”的取值范圍;
(2)若⊙O的半徑為r,OP=d,請參考(1)的思路,用含r、d的式子表示點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”或“冪值”的取值范圍_____;
(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C(1,0),⊙C的半徑為3,若在直線y=x+b上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“冪值”為6,請直接寫出b的取值范圍_____.
【答案】(1)①20;②當(dāng)弦AB的位置改變時(shí),點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值,證明見解析;(2)點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為r2﹣d2;(3)﹣3≤b≤.
【解析】【詳解】(1)①如圖1所示:連接OA、OB、OP.由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到△PBO為直角三角形,然后依據(jù)勾股定理可求得PB的長,然后依據(jù)冪值的定義求解即可;
②過點(diǎn)P作⊙O的弦A′B′⊥OP,連接AA′、BB′.先證明△APA′∽△B′PB,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PAPB=PA′PB′從而得出結(jié)論;
(2)連接OP、過點(diǎn)P作AB⊥OP,交圓O與A、B兩點(diǎn).由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AP=PB,然后在Rt△APO中,依據(jù)勾股定理可知AP2=OA2-OP2,然后將d、r代入可得到問題的答案;
(3)過點(diǎn)C作CP⊥AB,先求得OP的解析式,然后由直線AB和OP的解析式,得到點(diǎn)P的坐標(biāo),然后由題意圓的冪值為6,半徑為4可求得d的值,再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得到關(guān)于b的方程,從而可求得b的極值,據(jù)此即可確定出b的取值范圍.
【詳解】(1)①如圖1所示:連接OA、OB、OP,
∵OA=OB,P為AB的中點(diǎn),
∴OP⊥AB,
∵在△PBO中,由勾股定理得:PB==2,
∴PA=PB=2,
∴⊙O的“冪值”=2×2=20,
故答案為:20;
②當(dāng)弦AB的位置改變時(shí),點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值,證明如下:
如圖,AB為⊙O中過點(diǎn)P的任意一條弦,且不與OP垂直,過點(diǎn)P作⊙O的弦A′B′⊥OP,連接AA′、BB′,
∵在⊙O中,∠AA′P=∠B′BP,∠APA′=∠BPB′,
∴△APA′∽△B′PB,
∴,
∴PAPB=PA′PB′=20,
∴當(dāng)弦AB的位置改變時(shí),點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為定值;
(2)如圖3所示;連接OP、過點(diǎn)P作AB⊥OP,交圓O與A、B兩點(diǎn),
∵AO=OB,PO⊥AB,
∴AP=PB,
∴點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”=APPB=PA2,
在Rt△APO中,AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2,
∴關(guān)于⊙O的“冪值”=r2﹣d2,
故答案為:點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“冪值”為r2﹣d2;
(3)如圖4所示:過點(diǎn)C作CP⊥AB,
,
∵CP⊥AB,AB的解析式為y=x+b,
∴直線CP的解析式為y=﹣x+.
聯(lián)立AB與CP,得,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣﹣b,+b),
∵點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“冪值”為6,
∴r2﹣d2=6,
∴d2=3,即(﹣﹣b)2+(+b)2=3,
整理得:b2+2b﹣9=0,
解得b=﹣3或b=,
∴b的取值范圍是﹣3≤b≤,
故答案為:﹣3≤b≤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動,在AB上以每秒8個單位長度的速度運(yùn)動,在BC上以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CA方向以每秒個單位長度的速度運(yùn)動,兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí),點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒.
(1)求線段AQ的長;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動時(shí),求PQ與△ABC的一邊垂直時(shí)t的值;
(3)設(shè)△APQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)當(dāng)△APQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí),直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,∠BAC=90°,四邊形EBOC是平行四邊形,EB交⊙O于點(diǎn)D,連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若∠F=30°,EB=4,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的對角線交于點(diǎn)點(diǎn),分別在,上()且,,的延長線交于點(diǎn),,的延長線交于點(diǎn),連接.
(1)求證:.
(2)若正方形的邊長為4,為的中點(diǎn),求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖甲是一個大長方形剪去一個小長方形后形成的圖形,已知動點(diǎn)P以每秒2cm的速度沿圖甲的邊框按從B→C→D→E→F→A的路徑移動,相應(yīng)的△ABP的面積S與時(shí)間t之間的關(guān)系如圖乙中的圖象表示.若AB=6cm,試回答下列問題
(1)圖甲中的BC長是多少?
(2)圖乙中的a是多少?
(3)圖甲中的圖形面積的多少?
(4)圖乙中的b是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別過反比例函數(shù)y=的圖象上的點(diǎn)P1(1,y1),P2(2,y2),…Pn(n,yn)…作x軸的垂線,垂足分別為A1,A2,…,An…,連接A1P2,A2P3,…,An-1Pn,…,再以A1P1,A1P2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A1P1B1P2,以A 2P2,A2P3為一組鄰邊畫一個平行四邊形A2P2B2P3,點(diǎn)B2的縱坐標(biāo)是____.依此類推,則點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)是_______.(結(jié)果用含n代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x與拋物線y=x2﹣x﹣3交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PQ⊥x軸,交直線y=x于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則線段PQ的長度隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍是( 。
A. m<﹣1或m> B. m<﹣1或<m<3 C. m<﹣1或m>3 D. m<﹣1或1<m<3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,已知OA=,tan∠AOC=.
(1)求a,k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)觀察圖象,請直接寫出不等式ax﹣1≥的解集;
(3)在y軸上存在一點(diǎn)P,使得△PDC與△ODC相似,請你求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
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