Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），且當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．一次函數(shù)y=﹣x+3與二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象分別交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限．
（1）求二次函數(shù)y=﹣+bx+c的表達(dá)式；
（2）連接AB，求AB的長(zhǎng)；
（3）連接AC，M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即（0，c）．
由當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，得（5，c）．
將（5，c）（1，0）代入函數(shù)解析式，得
，
解得．
故拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+x﹣2；
（2）聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)，得
，
解得，，
即B（2，1），C（5，﹣2）．
由勾股定理，得
AB==；
（3）如圖：
，
四邊形ABCN是平行四邊形，
證明：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴AM=CM．
∵點(diǎn)B繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，
∴BM=MN，
∴四邊形ABCN是平行四邊形．
【解析】（1）根據(jù)當(dāng)x=0和x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，可得（5，c），根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得MN與BM的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案．