Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象經(jīng)過點A（1，0），且當x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等．一次函數(shù)y=﹣x+3與二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象分別交于B，C兩點，點B在第一象限．
（1）求二次函數(shù)y=﹣+bx+c的表達式；
（2）連接AB，求AB的長；
（3）連接AC，M是線段AC的中點，將點B繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到點N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（1）當x=0時，y=c，即（0，c）．
由當x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等，得（5，c）．
將（5，c）（1，0）代入函數(shù)解析式，得
，
解得．
故拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣2；
（2）聯(lián)立拋物線與直線，得
，
解得，，
即B（2，1），C（5，﹣2）．
由勾股定理，得
AB==；
（3）如圖：
，
四邊形ABCN是平行四邊形，
證明：∵M是AC的中點，
∴AM=CM．
∵點B繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到點N，
∴BM=MN，
∴四邊形ABCN是平行四邊形．
【解析】（1）根據(jù)當x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得（5，c），根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得B、C點坐標，根據(jù)勾股定理，可得AB的長；
（3）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得M點的坐標，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得MN與BM的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案．