Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DF．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，寫出求DE長的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OD．

∵OD=CD，

∴∠ODC=∠OCD．

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵點F為CE的中點，

∴DF=CF．

∴∠FDC=∠FCD．

∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，

∴∠FDO=∠FCO=90°．

∴DF是⊙O的切線

（2）解：）①由DB平分∠ADC，AC為⊙O的直徑，證明△ABC是等腰直角三角形；

②由AB=a，求出AC的長度為 ；

③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，證明△ACD∽△AEC，得到AC2=ADAE；

④設(shè)DE為x，由AD：DE=4：1，求出DE= a．

解：∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=BC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵AB=a，

∴AC= a，

∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，

∴△ACD∽△AEC，

∴AC：AE=AD：AC，

∴AC2=ADAE，

設(shè)DE為x，

∵AD：DE=4：1，

∴AD=4x，

∴（ a）2=20x2，

解得x= a．

即DE= a．

【解析】（1）連接OD，直接利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，進而得出答案；（2）首先證明證明△ABC是等腰直角三角形；其次其次AC的長；再證明ACD∽△AEC，得到AC2=ADAE；最后由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長．
【考點精析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．