Question

如圖1，點(diǎn)A、B是雙曲線y=

k

x

（k＞0）上的點(diǎn)，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于點(diǎn)G，得到正方形OCGF（陰影部分），且S_陰影=1，△AGB的面積為2．

（1）求雙曲線的解析式；
（2）在雙曲線上移動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B，上述作圖不變，得到矩形OCGF（陰影部分），點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持S_陰影=1不變（如圖2），則△AGB的面積是否會(huì)改變？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于正方形OCGF的面積是1，得出OC=CG=1，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B縱坐標(biāo)為1．由點(diǎn)A、B是雙曲線y=

k

x

上的點(diǎn)，得出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)都是k，從而可用含k的代數(shù)式表示AG，BG，再根據(jù)△AGB的面積為2，列出關(guān)于k的方程，求解即可；
（2）由于△AGB的面積=

1

2

AG•BG，所以本題即求

1

2

AG•BG的值是否為一個(gè)常數(shù)．為此，設(shè)矩形OCGF的邊OC=m，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，由S_陰影=OC•OF=1，可知OF=

1

m

，即點(diǎn)B縱坐標(biāo)為

1

m

．然后由點(diǎn)A、B是雙曲線y=

k

x

上的點(diǎn)，得出點(diǎn)A的縱橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，從而可用含m的代數(shù)式表示AG，BG，進(jìn)而求出

1

2

AG•BG的值，從而得出結(jié)果．

解答：解：（1）∵四邊形OCGF是正方形，
∴OC=CG=GF=OF，∠CGF=90°，
∵OC²=S_陰影=1，
∴OC=CG=GF=OF=1，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B縱坐標(biāo)為1．
∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=

k

x

上的點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y=

k

1

=k，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為x=

k

1

=k，
∴AC=k，BF=k，
∴AG=k-1，BG=k-1．
∵∠AGB=∠CGF=90°，
∴S_△AGB=

1

2

AG•BG=

1

2

(k-1)²=2，
解得k=3（取正值）．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中△AGB的面積保持不變．
理由如下：
設(shè)矩形OCGF的邊OC=m．
∵S_陰影=OC•OF=1，∴OF=

1

m

．
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)B縱坐標(biāo)為

1

m

．
∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=

3

x

上的點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y=

3

m

，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為x=

3

1 m

=3m．
∴AC=

3

m

，BF=3m．
又FG=OC=m，CG=OF=

1

m

，
∴AG=AC-CG=

3

m

-

1

m

=

2

m

，BG=BF-FG=3m-m=2m，
∴S_△AGB=

1

2

AG•BG=

1

2

•

2

m

•2m=2．
∴點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)過程中△AGB的面積保持不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)以及正方形、矩形的性質(zhì)，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．