Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直一CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN．
（Ⅰ）當點M在⊙O內部，如圖1，試證明PN是⊙O的切線；
（Ⅱ）當點M在⊙O外部，如圖2，其它條件不變時，（Ⅰ）的結論是否還成立？請說明理由；
（Ⅲ）如圖3，在（Ⅱ）的條件下，若∠AMO=15°，求PN的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（I）根據等邊對等角即可證得∠ONA=∠OAN，∠PNM=∠PMN，然后根據直角三角形兩銳角互余即可證得∠PNO=90°，從而證得；
（II）連接ON，根據等邊對等角即可證得∠ONA=∠OAN，∠PNM=∠PMN，然后根據直角三角形兩銳角互余以及等量代換，即可證得∠PNO=90°，從而證得；
（III）根據（Ⅱ）的結論可得∠ONP=90°，進而求得∠OPN的度數，然后利用三角函數即可求解．

解答：解：（1）PN和⊙O相切．
證明：連接ON．
∵OA=ON，
∴∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵AB⊥CD，
∴∠OAM+∠OMA=90°．
∵∠AMO=∠PMN，
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°，
即PN和⊙O相切；

（Ⅱ）成立．
證明：連接ON．
∵OA=ON，
∴∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵AB⊥CD，
∴在直角△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°，
∴∠PNO=180°-90°=90°，
∴PN和⊙O相切；

（Ⅲ）連接ON．
由（Ⅱ）可知∠ONP=90°，
∵∠AMO=15°，PM=PN，
∴∠PNM=∠AMO=15°，
∴∠OPN=∠PNM+∠AMO=30°，
在直角△NOP中，ON=1，
∴PN=

ON

tan30°

=

3

．

點評：本題考查了切線的判定與三角函數，證明切線的常用方法是連接圓心和直線與圓的公共點，然后證明垂直．