Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經(jīng)過圓心O，交⊙O于C、D兩點(diǎn)，直徑AB⊥CD，點(diǎn)M是直一CD上異于點(diǎn)C、O、D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AM所在的直線交⊙O于點(diǎn)N，點(diǎn)P是直線CD上另一點(diǎn)，且PM=PN．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在⊙O內(nèi)部，如圖1，試證明PN是⊙O的切線；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在⊙O外部，如圖2，其它條件不變時(shí)，（Ⅰ）的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）如圖3，在（Ⅱ）的條件下，若∠AMO=15°，求PN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（I）根據(jù)等邊對(duì)等角即可證得∠ONA=∠OAN，∠PNM=∠PMN，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可證得∠PNO=90°，從而證得；
（II）連接ON，根據(jù)等邊對(duì)等角即可證得∠ONA=∠OAN，∠PNM=∠PMN，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余以及等量代換，即可證得∠PNO=90°，從而證得；
（III）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論可得∠ONP=90°，進(jìn)而求得∠OPN的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)即可求解．

解答：解：（1）PN和⊙O相切．
證明：連接ON．
∵OA=ON，
∴∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵AB⊥CD，
∴∠OAM+∠OMA=90°．
∵∠AMO=∠PMN，
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90°，
即PN和⊙O相切；

（Ⅱ）成立．
證明：連接ON．
∵OA=ON，
∴∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵AB⊥CD，
∴在直角△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°，
∴∠PNO=180°-90°=90°，
∴PN和⊙O相切；

（Ⅲ）連接ON．
由（Ⅱ）可知∠ONP=90°，
∵∠AMO=15°，PM=PN，
∴∠PNM=∠AMO=15°，
∴∠OPN=∠PNM+∠AMO=30°，
在直角△NOP中，ON=1，
∴PN=

ON

tan30°

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與三角函數(shù)，證明切線的常用方法是連接圓心和直線與圓的公共點(diǎn)，然后證明垂直．