Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點，BD⊥CD于點D，且BC平分∠DBA．
（1）判斷CD與半圓O的位置關系，并說明理由；
（2）若半圓O的半徑為4，BD=5，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易證得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可證得結(jié)論；
（2）首先連接AC，易證得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答：解：（1）CD與半圓O相切．
理由：連接OC，
∵OB=OC，
∴∠1=∠1，
∵BC平分∠DBA，
∴∠2=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵C是半圓O上的一點，
∴CD與半圓O相切．

（2）連接AC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB，
∵∠2=∠3，
∴△ABC∽△CBD，
∴

BC

AB

=

BD

BC

，
即BC²=AB•BD=8×5=40，
∴BC=2

10

．

點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．