Question

已知：⊙O與⊙O₁外切于C，P是⊙O上任一點(diǎn)，PT與⊙O₁相切于點(diǎn)T．求證：PC：PT是定值．

Answer 1

證明：如圖所示，⊙O₁，⊙O，兩圓半徑分別為R、r．
延長(zhǎng)PC與圓交于E點(diǎn)，連接O₁E，PO，OO₁，
∵OP=OC，O₁C=O₁E，
∴∠OCP=∠OPC，∠O₁CE=∠O₁EC．
又∵∠OCP與∠O₁CE是對(duì)頂角，
∴∠OCP=∠O₁CE，
∴∠OCP=∠OPC=∠O₁CE=∠O₁EC，
∴△OCP∽△O₁CE，
∴

PO

EO1

=

PC

CE

=

r

R

，即CE=

R

r

PC．
∵PT與⊙O₁相切于點(diǎn)T，
∴PT²=PC?PE=PC?（PC+CE）=PC?（PC+

R

r

PC），
即PT²=PC²（1+

R

r

），
∴PC：PT=

r R+r

．為定值．