Question

已知：⊙O與⊙O₁外切于C，P是⊙O上任一點，PT與⊙O₁相切于點T．求證：PC：PT是定值．

Answer 1

證明：如圖所示，⊙O₁，⊙O，兩圓半徑分別為R、r．
延長PC與圓交于E點，連接O₁E，PO，OO₁，
∵OP=OC，O₁C=O₁E，
∴∠OCP=∠OPC，∠O₁CE=∠O₁EC．
又∵∠OCP與∠O₁CE是對頂角，
∴∠OCP=∠O₁CE，
∴∠OCP=∠OPC=∠O₁CE=∠O₁EC，
∴△OCP∽△O₁CE，
∴==，即CE=PC．
∵PT與⊙O₁相切于點T，
∴PT²=PC•PE=PC•（PC+CE）=PC•（PC+PC），
即PT²=PC²（1+），
∴PC：PT=．為定值．
分析：要證PC：PT是定值，如圖證明△OCP與△O₁CE相似，則CE可以用PC來表示得CE=PC，再由PT與⊙O₁相切于點T，可得PT²=PC•PE，代換后可得PT²=PC²（1+），進而得PC：PT為定值．
點評：本題考查了相切圓的性質與相似三角形的判定和性質，同學們應熟練掌握．