Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)M（﹣2， ），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1， ），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+；（2）當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；（3）在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣， ），使△QBM的周長(zhǎng)最�。�

【解析】分析：（1）先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1， ），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，再將M（﹣2， ）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點(diǎn)A、B，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC==2．設(shè)P（﹣1，m），當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小，由B（﹣3，0），C（0， ），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B′（3，2），再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=x+，直線AC的解析式為y=﹣x+，然后解方程組，即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

本題解析：

（1）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y=a（x+1）2+，

將M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，

解得a=﹣，

故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+；

（2）∵y=﹣x2﹣x+，

∴x=0時(shí)，y=，

∴C（0，）．

y=0時(shí)，﹣ x2﹣x+=0，

解得x=1或x=﹣3，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC==2．

設(shè)P（﹣1，m），

當(dāng)CP=CB時(shí)，有CP==2，解得m=±；

當(dāng)BP=BC時(shí)，有BP==2，解得m=±2；

當(dāng)PB=PC時(shí)， =，解得m=0，

綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1，2 ），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．

連結(jié)BC并延長(zhǎng)至B′，使B′C=BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點(diǎn)Q，

∵B、B′關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′，

所以此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最�。�

由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．

設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n，

將M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直線MB′的解析式為y=x+．

同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+．

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q（﹣， ），使△QBM的周長(zhǎng)最�。�