【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為1的A的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,線段BC的端點(diǎn)分別在x軸與y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),且sinOCB=

(1)若點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn),且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m.

①求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo);(用含m的代數(shù)式表示)

②若點(diǎn)P是A上一動(dòng)點(diǎn),求PQ的最小值;

(2)若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā),以1個(gè)單位/秒的速度沿折線OBC運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)停止,A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).

①點(diǎn)A從O→B的運(yùn)動(dòng)的過程中,若A與直線BC相切,求t的值;

②在A整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直接寫出t滿足的條件.

【答案】(1)①﹣m+8;②PQ最小=OQ最小﹣1=3.8;(2)t=時(shí),A與直線BC相切;②<t≤5或7≤t≤15時(shí),A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn).

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)正切的概念求出BC=10,OC=8,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解得即可;

②作OQABA于P,則此時(shí)PQ最小,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可;

(2)①根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可;

②結(jié)合圖形、運(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系定理解答.

解:(1)①點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),tanOCB=,

BC=10,OC=8,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

,

解得,

點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,

點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣m+8;

②如圖1,作OQABA于P,則此時(shí)PQ最小,

×AB×OQ=×BO×CO,

解得,OQ=4.8,

PQ最小=OQ最小﹣1=3.8;

(2)①如圖2,A與直線BC相切于H,

則AHBC,又BOC=90°,

∴△BHA∽△BOC,

=,即=,

解得,BA=,

則OA=6﹣=,

t=時(shí),A與直線BC相切;

②由(2)①得,t=時(shí),A與直線BC相切,

當(dāng)t=5時(shí),A經(jīng)過點(diǎn)B,

當(dāng)t=7時(shí),A經(jīng)過點(diǎn)B,

當(dāng)t=15時(shí),A經(jīng)過點(diǎn)C,

<t≤5或7≤t≤15時(shí),A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn).

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②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是

問題探究:

如圖2,ABC中,BAC=45°,AB=BC,AD平分BAC,ADCD,垂足為D,AD與BC交于點(diǎn)E.

求證:AE=2CD.

拓展延伸:

如圖3,ABC中,BAC=45°,AB=BC,點(diǎn)D在AC上,EDC=BAC,DECE,垂足為E,DE與BC交于點(diǎn)F.求證:DF=2CE.

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銷售方式

批發(fā)

零售

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6

12

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