【題目】情境觀察:
如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點(diǎn)F.
①寫出圖1中所有的全等三角形 ;
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是 .
問題探究:
如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點(diǎn)E.
求證:AE=2CD.
拓展延伸:
如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點(diǎn)D在AC上,∠EDC=∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點(diǎn)F.求證:DF=2CE.
要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.
【答案】①△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;②AF=2CE.見解析
【解析】
試題分析:情境觀察:①由全等三角形的判定方法容易得出結(jié)果;
②由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
問題探究:延長AB、CD交于點(diǎn)G,由ASA證明△ADC≌△ADG,得出對應(yīng)邊相等CD=GD,即CG=2CD,證出∠BAE=∠BCG,由ASA證明△ADC≌△CBG,得出AE=CG=2CD即可.
拓展延伸:作DG⊥BC交CE的延長線于G,同上證明三角形全等,得出DF=CG即可.
情境觀察:
解:①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;
故答案為:△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是:AF=2CE;
故答案為:AF=2CE.
問題探究:
證明:延長AB、CD交于點(diǎn)G,如圖2所示:
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠GAD,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ADG=90°,
在△ADC和△ADG中,
,
∴△ADC≌△ADG(ASA),
∴CD=GD,即CG=2CD,
∵∠BAC=45°,AB=BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBG=90°,
∴∠G+∠BCG=90°,
∵∠G+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠BCG,
在△ABE和△CBG中,
,
∴△ADC≌△CBG中(ASA),
∴AE=CG=2CD.
拓展延伸:
解:作DG⊥BC交CE的延長線于G,
如圖3所示.
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A.5(x-2)+3x=14
B.5(x+2)+3x=14
C.5x+3(x+2)=14
D.5x+3(x-2)=14
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【題目】如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,﹣1)、(2,1).
(1)以0點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2),畫出圖形;
(2)分別寫出B、C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′的坐標(biāo);
(3)如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),寫出M的對應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo).
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【題目】如圖,AB是⊙O直徑,OC⊥AB,弦CD與OB交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G,切線GD與AB延長線交于點(diǎn)E.
(1)求證:∠C+∠EDF=90°
(2)已知:AG=6,⊙O的半徑為3,求OF的值.
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【題目】試通過畫圖來判定,下列說法正確的是( )
A. 一個(gè)直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一個(gè)等腰三角形一定不是銳角三角形
C. 一個(gè)鈍角三角形一定不是等腰三角形 D. 一個(gè)等邊三角形一定不是鈍角三角形
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【題目】小樂的數(shù)學(xué)積累本上有這樣一道題:
解方程:﹣=1
解:去分母,得6(2x+1)﹣(5x﹣1)=6…第一步
去括號,得4x+2﹣5x﹣1=6…第二步
移向、合并同類項(xiàng),得x=5…第三步
方程兩邊同除以﹣1,得x=﹣5…第四步
在題后的反思中看,小鄭總結(jié)到:解一元一次方程的一般步驟都知道,卻沒有掌握好,因此解題時(shí)有一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤…
小樂的解法從第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤,然后,請你自己細(xì)心地解下面的方程:
2﹣(x+2)=(x﹣1)
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(1)若點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn),且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m.
①求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo);(用含m的代數(shù)式表示)
②若點(diǎn)P是⊙A上一動(dòng)點(diǎn),求PQ的最小值;
(2)若點(diǎn)A從原點(diǎn)O出發(fā),以1個(gè)單位/秒的速度沿折線OBC運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)停止,⊙A隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).
①點(diǎn)A從O→B的運(yùn)動(dòng)的過程中,若⊙A與直線BC相切,求t的值;
②在⊙A整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)⊙A與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直接寫出t滿足的條件.
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