Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于與坐標(biāo)軸不平行的直線l和點(diǎn)P，給出如下定義：過點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，若PM+PN≤4，則稱P為直線l的近距點(diǎn)，特別地，直線上l所有的點(diǎn)都是直線l的近距點(diǎn)．已知點(diǎn)A(-，0)，B(0，2)，C(-2，2)．

（1）當(dāng)直線l的表達(dá)式為y=x時，

①在點(diǎn)A，B，C中，直線l的近距點(diǎn)是 ；

②若以OA為邊的矩形OAEF上所有的點(diǎn)都是直線l的近距點(diǎn)，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)n的取值范圍；

（2）當(dāng)直線l的表達(dá)式為y=kx時，若點(diǎn)C是直線l的近距點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①A，B；②n的取值范圍是，且;(2) .

【解析】（1）①根據(jù)PM+PN≤4，進(jìn)行判斷；②當(dāng)PM+PN=4時，可知點(diǎn)P在直線l1：，直線l2：上．所以直線l的近距點(diǎn)為在這兩條平行線上和在這兩條平行線間的所有點(diǎn)．分兩種情況EF在OA上方，當(dāng)點(diǎn)E在直線l1上時，n的值最大；EF在OA下方，當(dāng)點(diǎn)F在直線l2上時，n的值最小，當(dāng)時，EF與AO重合，矩形不存在，所以可以分析出n的取值范圍；

（2）根據(jù)定義，結(jié)合圖形可推出：．

解：（1）①A，B；

②當(dāng)PM+PN=4時，可知點(diǎn)P在直線l1：，直線l2：上．所以直線l的近距點(diǎn)為在這兩條平行線上和在這兩條平行線間的所有點(diǎn)．

如圖1，EF在OA上方，當(dāng)點(diǎn)E在直線l1上時，n的值最大，為．

如圖2，EF在OA下方，當(dāng)點(diǎn)F在直線l2上時，n的值最小，為．

當(dāng)時，EF與AO重合，矩形不存在．

綜上所述，n的取值范圍是，且．

（2）．