Question

【題目】已知∠ACD=90°,MN是過A點(diǎn)的直線,AC=DC,DB⊥MN于點(diǎn)B,連接BC．

(1)如圖1,將△BCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ECA．

①求證：點(diǎn)E在直線MN上；

②猜想線段AB、BD、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想．

(2)當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí),猜想線段AB、BD、CB又滿足怎樣的數(shù)列關(guān)系,并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)①見解析;②AB+BD=BC,理由見解析;(2)ABBD=BC，理由見解析;

【解析】

（1）①由四邊形內(nèi)角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出結(jié)論；

②證出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出BE=BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作CE⊥CB與MN交于點(diǎn)E，則∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，證出∠CAE=∠CDB，由ASA證明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，證出△ECB為等腰直角三角形，由勾股定理得出EB=BC，即可得出結(jié)論．

(1)①證明：∵DB⊥MN,

∴∠ABD=90，在四邊形ACDB中,

∵∠ACD=90

∴∠ACD+∠ABD=180

∴∠CAB+∠CDB=180

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ECA≌△BCD

∴∠EAC=∠BDC,

∴∠CAB+∠EAC=180

∴點(diǎn)E在直線MN上

②解：AB+BD=BC,理由如下：

∵∠ACD=90

∴∠ACB+∠BCD=90

由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC

∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90

∴△ECB為等腰直角三角形

∴BE=BC

∵BE=AE+AB

由①知AE=BD

∴AB+BD=BC.

(2)解：ABBD=BC，理由如下：

過點(diǎn)C作CE⊥CB與MN交于點(diǎn)E,如圖2所示：

則∠ECB=90

∵∠ACD=90

∴∠ACE=∠DCB

∵DB⊥AB

∴∠CAE=∠CDB

∴△ACE≌△DCB(ASA)

∴AE=DB,EC=BC

∴EB=ABAE=ABDB,△ECB為等腰直角三角形,

∴EB=BC

∴ABBD=BC.