Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB的頂點(diǎn)A（-6，0），頂點(diǎn)B在第二象限，頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OA交y軸于點(diǎn)C．
（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是

 

；
（2）若點(diǎn)Q是線段OB上的一點(diǎn)，且OQ=

1

3

OB，過(guò)點(diǎn)Q作直線l分別與直線AO、
直線BC交于點(diǎn)H、G，以點(diǎn)O為圓心，OH的長(zhǎng)為半徑作⊙O．
①設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為x，當(dāng)點(diǎn)G在直線BC上移動(dòng)，試探究：當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC、直線AB都分別相切？
②過(guò)點(diǎn)G作GD∥OC，交x軸于點(diǎn)D，若線段GD與⊙O有公共點(diǎn)P，且點(diǎn)M（1，1），探求：2PO+PM的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由△OAB為等邊三角形，且OB=6，所以BC=3，CO=3

3

，考慮象限中坐標(biāo)的正負(fù)取值，結(jié)果易得．
（2）①分別相切，我們就把這種情形畫出來(lái)，此時(shí)H點(diǎn)已知，Q點(diǎn)已知，連接HQ并延長(zhǎng)，其與直線BC的交點(diǎn)記為G，根據(jù)三角形相關(guān)性質(zhì)，G點(diǎn)的橫坐標(biāo)不難求出．
    ②2PO+PM，判定最值時(shí)我們一般首先把多倍的情況轉(zhuǎn)化成某線段的長(zhǎng)，因?yàn)檫@樣比較起來(lái)更為直觀，由上問(wèn)可知

OH

BG

=

1

2

，又OH=OP，則易得2PO+PM=BG+PM．移動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，BG為平行于x軸的線段，且B點(diǎn)固定，有BG為B點(diǎn)到GD的距離，而PM不平行于x軸，若作輔助線有PM≥M到GD的距離．PM何時(shí)等于M到GD的距離呢？當(dāng)G在y軸左邊，存在情形如圖4，M到GD距離=PM，則2PO+PM=B點(diǎn)到GD的距離+M到GD的距離=B點(diǎn)橫坐標(biāo)-M點(diǎn)橫坐標(biāo)．且B、M點(diǎn)固定，則最小距離易求．

解答：解：
（1）B(-3， 3

3

)．
分析如下：

如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AO于C，
∵△OAB為等邊三角形，
∴C為中點(diǎn)，
∴CO=

1

2

•AO=3，
∵∠OCB=

1

2

∠OBA=30°，
∴BC=

3

•CO=3

3

，
∴B（-3，3

3

）．

（2）
①

如圖2，以O(shè)為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫圓，交AO于H，H'，連接HQ并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于G，H'Q并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于G'，
顯然本題有兩種情況．
∵△OAB是等邊三角形，
∴O點(diǎn)到AB的距離=B點(diǎn)到AO的距離，
∵B點(diǎn)到AO的距離=OC=3

3

，
∴O點(diǎn)到AB的距離=3

3

，即⊙O與AB相切．
（i）
∵BC∥OA
∴

OH

BG

=

OQ

BQ

，
∵OQ=

1

3

OB，
∴

OQ

BQ

=

1

2

，
∵OH=OC=3

3

，
∴

3 3

BG

=

OQ

BQ

=

1

2

，
解得 BG=6

3

，
∴CG=BG-BC=6

3

-3，
∴當(dāng)x=6

3

-3時(shí)，⊙O與直線BC、直線AB都分別相切．
（ii）
∵BC∥OA
∴

OH′

BG′

=

OQ

BQ

，
∵OQ=

1

3

OB，
∴

OQ

BQ

=

1

2

，
∵OH′=OC=3

3

，
∴

3 3

BG′

=

OQ

BQ

=

1

2

，
解得 BG′=6

3

，
∴CG′=BG′+BC=6

3

+3，
∴當(dāng)x=6

3

+3時(shí)，⊙O與直線BC、直線AB都分別相切．
綜上所述，x=6

3

-3或x=-6

3

-3時(shí)⊙O與直線BC、直線AB都分別相切．

②

如圖3，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線l，交GD于N，
由①可得

OH

BG

=

1

2

，
∴

OP

BG

=

1

2

，
∴2OP+PM=BG+PM．
在Rt△PMN中，
∵PM≥MN（等號(hào)在P、N重合時(shí)成立）
∴2PO+PM=BG+PM≥BG+MN．
若移動(dòng)G點(diǎn)至G'位置，此時(shí)N'，P'重合，此時(shí)2PO+PM應(yīng)最小．
顯然G移動(dòng)，H也跟著移動(dòng)，圓的大小也發(fā)生變化，是否有P、N重合的情景呢？

如圖4，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在情形使得P、N重合，此時(shí)BG+PM=M的橫坐標(biāo)-B的橫坐標(biāo)．
∵B（-3，3

3

），M（1，1），
∴2PO+PM=BG+PM=x_M-x_B=1-（-3）=4，
2PO+PM的最小值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的特殊性質(zhì)、圓與直線相切的證明及利用動(dòng)態(tài)圖形判斷線段何時(shí)最短，是一道難度極高的題，尤其（2）②，將倍數(shù)線段首先轉(zhuǎn)換并將所求距離轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)到直線距離的和，畫圖及思路不易想到．