解:(1)∵A
1(1,0)、C(0,1),

∴OA
1=OC=1,
∵∠A
1OC=90°,
∴A
1C=

=

,∠OA
1C=∠OCA
1=45°,
∵以A
1C為一邊向外作長(zhǎng)寬比為

的矩形,
∴A
1B
1=

A
1C=2,∠B
1A
1A
2=180°-90°-45°=45°,
∴△A
1A
2B
1是等腰直角三角形,
∴A
1A
2=

A
1B
1=2

.
如圖,作三角形A
1A
2B
1的高B
1D,則A
1D=B
1D=

A
1A
2=

,
∴OD=OA
1+A
1D=1+

,
∴點(diǎn)B
1的坐標(biāo)為(1+

,

);
過(guò)點(diǎn)B
2作B
2E⊥x軸于點(diǎn)E,
易證三角形A
2A
3B
2是等腰直角三角形,
∵A
2B
1=A
1B
1=2,
∴A
2B
2=

A
2B
1=2

,
∴A
2A
3=

A
2B
2=4,
∴B
2E=

A
2A
3=2,
∴S
△A1A2B2=

A
1A
2•B
2E=

×2

×2=2

;

(2)過(guò)點(diǎn)B
3作B
3F⊥x軸于點(diǎn)F,
易證三角形A
3A
4B
3是等腰直角三角形,
∵A
3B
2=A
2B
2=2

,
∴A
3B
3=

A
3B
2=4,
∴A
3A
4=

A
3B
3=4

,
∴B
3F=

A
3A
4=2

,
∴S
△A2A3B3=

A
2A
3•B
3F=

×4×2

=4

;
同理,可得S
△A3A4B4=

×4

×4=8

;
…
S
△AnAn+1Bn+1=2
n
;
∴S
△A1A2B2+S
△A2A3B3+…+S
△AnAn+1Bn+1=2

+4

+8

+…+2
n
=

(2+4+8+…+2
n)=

×

=(2
n+1-2)

.
故答案為(1+

,

),2

;(2
n+1-2)

.
分析:(1)先由勾股定理求出A
1C=

,則A
1B
1=2,再作等腰直角三角形A
1A
2B
1斜邊上的高B
1D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出A
1D和B
1D的長(zhǎng),進(jìn)而得到點(diǎn)B
1的坐標(biāo);過(guò)點(diǎn)B
2作B
2E⊥x軸于點(diǎn)E,由于三角形A
2A
3B
2是等腰直角三角形,則B
2E=

A
2A
3,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S
△A1A2B2;
(2)過(guò)點(diǎn)B
3作B
3F⊥x軸于點(diǎn)F,易證三角形A
3A
4B
3是等腰直角三角形,則B
3F=

A
3A
4=2

,又A
2A
3=4,根據(jù)三角形的面積公式求出S
△A2A3B3=

A
2A
3•B
3F=4

;同理求出S
△A3A4B4=

×4

×4=8

;…;S
△AnAn+1Bn+1=2
n
;然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.
點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,等比數(shù)列的求和,綜合性較強(qiáng),有一定難度.