【題目】如圖1,、兩點的坐標分別為,,且滿足,的坐標為
(1)判斷的形狀.
(2)動點從點出發(fā),以個單位/的速度在線段上運動,另一動點從點出發(fā),以個單位/的速度在射線上運動,運動時間為.
①如圖2,若,直線交軸于,當時,求的值.
②如圖3,若,當運動到中點時,為上一點,連,作交于.試探究和的數量關系,并給出證明.
【答案】(1)為等腰三角形;(2)①6.5s;②AM=CN,證明見解析.
【解析】
(1)作CD⊥AB于D,根據非負數的性質求出a、b的值,根據A、B、C的坐標可得AD=DB,根據線段垂直平分線的性質即可得為等腰三角形;
(2)①作PE∥BC交AB于E,證明△PEH≌△QBH,則PE=BQ,根據等腰三角形及平行線的性質∠PEA=∠PAE,得出PA=BQ,根據線段的相等關系列出關于t的方程,解方程即可;
②延長CM交AB于F,先由點C、M的坐標得出CM⊥AB,根據坐標求出AF=CF=BF,推出∠ACB=90°,可求得∠CAB=∠ABC=∠ACF=45°,證出△BCN≌△CAM即可得出結論.
解:(1)作CD⊥AB于D,
∵,
∴a+2=0,b-8=0,
∴a=-2,b=8,
∵的坐標為,
∴OD=3,
∴AD=BD=5,
∴CD為線段AB的垂直平分線,
∴AC=BC,
∴為等腰三角形;
(2)①作PE∥BC交AB于E,
∵PE∥BC,
∴∠EPH=∠BQH,∠PEA=∠ABC,
又∵,∠EHP=∠BHQ,
∴△PEH≌△QBH,
∴PE=BQ,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠ABC,
∴∠CAB=∠PEA,
∴PA=PE,
∴PA=BQ,
由題意得:PA=t,CQ=3t,,
∴t=3t-13,解得:t=6.5s;
②AM=CN
證明:延長CM交AB于F,
∵C(3,5),
∴CM⊥AB,M(3,0),CF=5,
∵A(-2,0),B(8,0),
∴AF=CF=BF,
∴∠CAF=∠ACF,∠BCF=∠CBF,
∴∠ACB=90°,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠ABC=∠ACF=45°,
∵,∠ACB=90°,
∴∠CQA+∠BCN=∠CQA+∠CAM,
∴∠BCN=∠CAM,
在△BCN和△CAM中
∴△BCN≌△CAM,
∴AM=CN.
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【題目】如圖,銳角中,,若想找一點P,使得與互補,甲、乙、丙三人作法分別如下:
甲:以B為圓心,AB長為半徑畫弧交AC于P點,則P即為所求;
乙:分別以B,C為圓心,AB,AC長為半徑畫弧交于P點,則P即為所求;
丙:作BC的垂直平分線和的平分線,兩線交于P點,則P即為所求.
對于甲、乙、丙三人的作法,下列敘述正確的是
A. 三人皆正確B. 甲、丙正確,乙錯誤
C. 甲正確,乙、丙錯誤D. 甲錯誤,乙、丙正確
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【題目】如圖1,AB=12,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=8。點P在線段AB上以每秒2個單位的速度由點A向點B運動,同時,點Q在線段BD上由B點向點D運動。它們的運動時間為t(s).
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當t=2時,△ACP與△BPQ是否全等,請說明理由,并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系;
(2)如圖2,將圖1中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”,其他條件不變。設點Q的運動速度為每秒x個單位,是否存在實數x,使得△ACP與△BPQ全等?若存在,求出相應的x,t的值;若不存在,請說明理由。
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【題目】如圖,AB=AC=8,∠BAC=90,直線l與以AB為直徑的⊙O相切于點B,點D是直線l上任意一動點,連結DA交⊙O點E.
(1)當點D在AB上方且BD=6時,求AE的長;
(2)當CE恰好與⊙O相切時,求BD的長為多少?
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【題目】閱讀理解:配方法是中學數學的重要方法,用配方法可求最大(小)值,對于任意正實數a、b,可作如下變形a+b==-2+2=+2,又∵≥0,∴ +2≥0+ 2,即a+b ≥2.
(1)根據上述內容,回答下列問題:在a+b≥2(a、b均為正實數)中,若ab為定值p,則a+b≥ 2,當且僅當a、b滿足________時,a+b有最小值2.
(2)思考驗證:如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,CO為AB邊上中線,AD=2a ,DB=2b, 試根據圖形驗證a+b≥2成立,并指出等號成立時的條件.
(3)探索應用:如圖2,已知A為反比例函數的圖象上一點,A點的橫坐標為1,將一塊三角板的直角頂點放在A處旋轉,保持兩直角邊始終與x軸交于兩點D、E,F(0,-3)為y軸上一點,連接DF、EF,求四邊形ADFE面積的最小值.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,邊AB的垂直平分線DE交AB于點E,交BC于點D.CD=3,則BC的長為( )
A. 6 B. 9 C. 6 D. 3
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【題目】如圖,已知:E是∠AOB的平分線上一點,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,連接CD,且交OE于點F.
(1)求證:DF=CF.
(2)若∠AOB=60,請你探究OE,EF之間有什么數量關系?并證明你的結論。
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