Question

如圖，PA=PB且PA⊥PB，QA=QC且QA⊥QC．
（1）若點M是BC的中點，求證：MP=MQ且MP⊥MQ．
（2）若PQ=10，請判斷凹五邊形BPAQC的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD=PB=AP，∠MCD=∠B，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DQ=PQ，∠DQC=∠PQA，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)面積的和差，可得S_凹五邊形=S_{四邊形PQCB}-S_△PAQ，根據(jù)根據(jù)等量代換，可得S_△MCD+S_△MPQ+S_△MCQ-S_△DCQ=S_{四邊形PQCD}-S_△QCD，根據(jù)面積的和差，可得答案．

解答：解：如圖：延長PM至點D，使MD=PM，連接DQ、DC．
（1）證明：在△PBM和△DCM中

PM=DM ∠PMB=∠DMC BM=CM

，
△PBM≌△DCM（SAS），
∴CD=PB=AP，∠MCD=∠B，
∴∠DCQ=∠MCD+∠BCQ=∠B+∠BCQ．
∵∠A=180°-（∠APQ+∠AQP）=180°-[360°-（∠APB+∠AQC+∠B+∠BCQ）]=∠B+∠BCQ，
∴∠DCQ=∠A．
在△DCQ和△PAQ中

DC=PA ∠DCQ=∠PAQ CQ=AQ

，
∴△DCQ≌△PAQ（SAS），
∴DQ=PQ，∠DQC=∠PQA，
∴∠PQD=∠PQA+∠AQD=∠DQC+∠AQD=90°，
∴△PQD是等腰直角三角形．
∵M是PD的中點，
∴△MPQ是等腰直角三角形，
∴MP=MQ，MP⊥MQ；
（2）凹五邊形BPAQC的面積是定值，理由如下：
S_凹五邊形=S_{四邊形PQCB}-S_△PAQ
=S_△PMB+S_△MPQ+S_△MCQ-S_△PAQ
=S_△MCD+S_△MPQ+S_△MCQ-S_△DCQ
=S_{四邊形PQCD}-S_△QCD
=S_△PQD=

1

2

PQ²=

1

2

×10²=50，
若PQ=10，請判斷凹五邊形BPAQC的面積是定值．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)．