Question

如圖，有一塊形狀是直角梯形的鐵皮ABCD，上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．現(xiàn)要截成一矩形鐵皮MPCN，使它的頂點(diǎn)M、P、N在AB、BC、CD上，設(shè)MN的長為x，矩形MPCN的面積為y．
（1）求y與x之間的關(guān)系式，并指出x的取值范圍．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形MPCN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）過A作BC的垂線，垂足是E，則△AEB∽△MPB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可用x表示出PB的長，進(jìn)而求得CP，則函數(shù)解析式即可求解；
（2）根據(jù)所有的函數(shù)解析式是二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）過A作BC的垂線，垂足是E．
又∵M(jìn)P⊥BC
∴AE∥MP
∴△AEB∽△MPB
∴

AE

MP

=

BE

PB

即

6

MP

=

5

8-x

，解得：MP=

48-6x

5

則y=x（

48-6x

5

）=-

6

5

x²+

48

5

x （3＜x≤6）；

（2）∵y=-

6

5

x²+

48

5

x=-

6

5

（x²-8x+16-16）=-

6

5

（x-4）²+

96

5

，
∴當(dāng)x=4時(shí)，有最大面積為：

96

5

．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，是二次函數(shù)與相似三角形相結(jié)合的題目，把求面積的最值的問題通過二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．