Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，動(dòng)點(diǎn)F在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，將△EBF沿EF折疊，得到△EB′F．

（1）當(dāng)∠BEF=45°時(shí)，求證：CF=AE；
（2）當(dāng)B′D=B′C時(shí)，求BF的長(zhǎng)；
（3）求△CB′F周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

當(dāng)∠BEF=45°時(shí)，易知四邊形BEB′F是正方形，

∴BF=BE，

∵AB=BC，

∴CF=AE=3．

（2）

解：如圖2中，作B′N(xiāo)⊥BC于N，NB′的延長(zhǎng)線交AD于M，作EG⊥MN于G，則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形．

∵B′D=B′C，

∴∠B′DC=∠B′CD，

∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠B′DM=∠B′CN，

∵∠B′MD=∠B′N(xiāo)C=90°，

∴△B′MD≌△B′CN，

∴B′M=B′N(xiāo)=8，

∵AE=MG=3，

∴GB′=5，

在Rt△EGB′中，EG= = =12，

∵∠EB′G+∠FB′N(xiāo)=90°，∠FB′N(xiāo)+∠B′FN=90°，

∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，

∴△EGB′∽△B′N(xiāo)F，

∴ = ，

∴ = ，

∴BF=B′F= ．

（3）

解：如圖3中，

以E為圓心EB為半徑畫(huà)圓，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，

∴EC= =5 ，

∵△CFB′的周長(zhǎng)=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，

∴欲求△CFB′的周長(zhǎng)的最小值，只要求出CB′的最小值即可，

∵CB′+EB′≥EC，

∴E、B′、C共線時(shí)，CB′的值最小，CB′最小值為5 ﹣13．

∴△CFB′的周長(zhǎng)的最小值為3+5 ．

【解析】（1）如圖1中，當(dāng)∠BEF=45°時(shí)，易知四邊形BEB′F是正方形，推出BF=BE，由AB=BC，即可證明CF=AE=3．（2）如圖2中，作B′N(xiāo)⊥BC于N，NB′的延長(zhǎng)線交AD于M，作EG⊥MN于G，則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形．由△B′MD≌△B′CN，推出B′M=B′N(xiāo)=8，由AE=MG=3，推出GB′=5，在Rt△EGB′中，EG= = =12，由△EGB′∽△B′N(xiāo)F，推出 = ，由此即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，以E為圓心EB為半徑畫(huà)圓，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，推出EC= =5 ，由△CFB′的周長(zhǎng)=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，所以欲求△CFB′的周長(zhǎng)的最小值，只要求出CB′的最小值即可，因?yàn)镃B′+EB′≥EC，所以E、B′、C共線時(shí)，CB′的值最�。�
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)正方形的性質(zhì)的理解，了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．