Question

如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠DAC、∠ACF的平分線相交于點(diǎn)E，EH⊥AC，垂足為點(diǎn)H．求證：∠AEB=∠CEH．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義表示出∠CAE，∠ECM，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AEB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠CEM，即為∠CEH，從而得證．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，
∵∠ABC的平分線與△ABC的外角∠DAC、∠ACF的平分線相交于點(diǎn)E，
∴∠CAE=

1

2

（∠ABC+∠ACB），∠ECM=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE，
=180°-

1

2

∠ABC-∠BAC-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
=180°-∠ABC-∠BAC-

1

2

∠ACB，
=

1

2

∠ACB，
∵EH⊥AC，
∴∠CEH=∠CEM=90°-∠ECM=90°-

1

2

（∠BAC+∠ABC）=90°-

1

2

（180°-∠ACB），
=

1

2

∠ACB，
∴∠AEB=∠CEH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并分別表示出∠AEB和∠CEH是解題的關(guān)鍵．