【題目】(問題情境)如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

1)(問題解決)延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關系即可判斷出中線AD的取值范圍是   

(反思感悟)解題時,條件中若出現(xiàn)中點、中線字樣,可以考慮構造以該中點為對稱中心的中心對稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結論集中到同個三角形中,從而解決問題.

2)(嘗試應用)如圖②,△ABC中,∠BAC=90°,ADBC邊上的中線,試猜想線段AB,AC,AD之間的數(shù)量關系,并說明理由.

3)(拓展延伸)如圖③,△ABC中,∠BAC=90°,DBC的中點,DMDN,DMAB于點M,DNAC于點N,連接MN.當BM=4MN=5,AC=6時,請直接寫出中線AD的長.

【答案】12AD8;(2AB2AC24AD2,理由見解析;(3AD5

【解析】

1)延長ADE,使DEAD,由SAS證明BDE≌△CDA,得出BEAC8,在ABE中,由三角形的三邊關系求出AE的取值范圍,即可得出AD的取值范圍;

2)延長ADE,使DEAD,連接BE,如圖②所示,由(1)可知BDE≌△CDA,然后只要證明∠ABE90°,利用勾股定理即可得出結論;

3)延長NDE,使得DNDE,連接BE、EM,首先證明BDE≌△CDN,求出∠ABD+∠DBE90°,然后利用勾股定理可得BE3,進而得到ANNC,利用三線合一證明DNAC,同理可得DMAB,然后證明四邊形AMDN是矩形即可解決問題.

解:(1)延長ADE,使DEAD,連接BE,如圖①所示,

ADBC邊上的中線,

BDCD,

BDECDA中,,

∴△BDE≌△CDASAS),

BEAC6,

ABE中,由三角形的三邊關系得:ABBEAEABBE,

106AE106,即4AE16,

2AD8

2AB2AC24AD2,

理由:延長ADE,使DEAD,連接BE,如圖②所示,

由(1)可知:BDE≌△CDA,

BEAC,∠E=∠CAD,

∵∠BAC90°

∴∠E+∠BAE=∠BAE+∠CAD=∠BAC90°,

∴∠ABE90°

AB2BE2AE2,

AB2AC24AD2;

3)如圖③,延長NDE,使得DNDE,連接BE、EM

BDDC,∠BDE=∠CDNDEDN,

∴△BDE≌△CDN

BECM,∠EBD=∠C

∵∠ABC+∠C90°,

∴∠ABD+∠DBE90°,

MDENDEDN,

MEMN5,

RtBEM中,BE3

CNBE3,

AC6

ANNC,

∵∠BAC90°BDDC,

ADDCBD,

DNAC,

RtAMN中,AM4,

AMBM,

DADB,

DM

∴∠AMD=∠AND=∠MAN90°,

∴四邊形AMDN是矩形,

ADMN5

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下,大力開展科技扶貧工作,幫助農民組建農副產品銷售公司,某農副產品的年產量不超過100萬件,該產品的生產費用y(萬元)與年產量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是頂點為原點的拋物線的一部分(如圖所示);該產品的銷售單價z(元/件)與年銷售量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是如圖所示的一條線段,生產出的產品都能在當年銷售完,達到產銷平衡,所獲毛利潤為W萬元.(毛利潤=銷售額﹣生產費用)

(1)請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關系式;(寫出自變量x的取值范圍)

(2)求W與x之間的函數(shù)關系式;(寫出自變量x的取值范圍);并求年產量多少萬件時,所獲毛利潤最大?最大毛利潤是多少?

(3)由于受資金的影響,今年投入生產的費用不會超過360萬元,今年最多可獲得多少萬元的毛利潤?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】鄭州市農業(yè)路高架橋二層的開通,較大程度緩解了市內交通的壓力,最初設計南陽路口上橋匝道時,其坡角為15°,后來從安全角度考慮將匝道坡角改為5°(見示意圖),如果高架橋高CD=6米,匝道BD和AD每米造價均為4 000元,那么設計優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加多少元?(參考數(shù)據(jù):sin5°≈0.08,sin15°≈0.25,tan5°≈0.09,tan15°≈0.27,結果保留整數(shù))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商人制成了一個如圖所示的轉盤,取名為開心大轉盤,游戲規(guī)定:參與者自由轉動轉盤,轉盤停止后,若指針指向字母A,則收費2元,若指針指向字母B,則獎勵3元;若指針指向字母C,則獎勵1元.一天,前來尋開心的人轉動轉盤80次,你認為該商人是盈利的可能性大還是虧損的可能性大?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】班長小李對他所在班級(八年級班)全體同學的業(yè)余興趣愛好進行了一次調查,據(jù)采集到的數(shù)據(jù)繪制了下面的統(tǒng)計圖表,根據(jù)調查他想寫一個調查報告交給學校,建議學校根據(jù)學生的個人興趣愛好,適當?shù)陌才乓恍┨亻L培養(yǎng)或合理安排學生在校期間的課余活動,請你根據(jù)圖中提供的信息,幫助小李完成信息采集.

1)該班共有學生_____人;

2)在圖1中,請將條形統(tǒng)計圖補充完整;

3)在圖2中,在扇形統(tǒng)計圖中,音樂部分所對應的圓心角的度數(shù)_____度;

4)求愛好書畫的人數(shù)占該班學生數(shù)的百分數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】佳佳商場賣某種衣服每件的成本為元,據(jù)銷售人員調查發(fā)現(xiàn),每月該衣服的銷售量(單位:件)與銷售單價(單位:元/件)之間存在如圖中線段所示的規(guī)律:

1)求之間的函數(shù)關系式,并寫出的取值范圍;

2)若某月該商場銷售這種衣服獲得利潤為元,求該月這種衣服的銷售單價為每件多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知∠1=∠2,要使ABDACD,需從下列條件中增加一個,錯誤的選法是(

A.ADB=∠ADCB.B=∠CC.ABACD.DBDC

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知:正方形ABCD中,AB=4,ECD邊中點,FAD邊中點,AEBDG,交BFH,連接DH.

(1)求證:BG=2DG;

(2)求AH:HG:GE的值;

(3)求的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案