Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）△COD是什么三角形？說明理由；
（2）若AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n（n為大于1的整數(shù)），求α的度數(shù)；
（3）當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

（1）△COD是等邊三角形．
理由如下：∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；

（2）∵AD²+OD²=（n²-1）²+（2n）²
=n⁴-2n²+1+4n²
=n⁴+2n²+1
=（n²+1）²
=AO²，
∴△AOD是直角三角形，且∠ADO=90°，
∵△COD是等邊三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°+60°=150°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，α=∠ADC=150；

（3）∵α=∠ADC，∠CDO=60°，
∴∠ADO=α-60°，
又∵∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∴∠DAO=180°-（190°-α）-（α-60°）=180°-190°+α-α+60°=50°，
∵△AOD是等腰三角形，
∴①∠AOD=∠ADO時(shí)，190°-α=α-60°，
解得α=125°，
②∠AOD=∠DAO時(shí)，190°-α=50°，
解得α=140°，
③∠ADO=∠DAO時(shí)，α-60°=50°，
解得α=110°，
綜上所述，α為125°或140°或110°時(shí)，△AOD是等腰三角形．