Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)，現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）．

（1）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）試證明旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△MNO的邊MN上的高為定值；
（3）折△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，p值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)給予證明，并求出p的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵四邊形OABC是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°

∵M(jìn)N∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM．

∴BM=BN，

∴AM=CN．

在△OAM與△OCN中，

∴△OAM≌△OCN（SAS），

∴∠AOM=∠CON，

∴∠AOM=∠CON=22.50，

∴MN∥AC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為22.50．

（2）

解：證明：如圖2中，

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥MN于F，延長(zhǎng)BA交y軸與E點(diǎn)，則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．

∴∠AOE=∠CON．

在△OAE與△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN．

在△OME與△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS），

∴∠OME=∠OMN．

∵M(jìn)A⊥OA，MF⊥OF．

∴OA=OF=2，

∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，高為定值．

（3）

解：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，p值不變化．

理由：∵△OME≌△OMN，

∴ME=MN，

∵AE=CN，

∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN．

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．

∴△MBN的周長(zhǎng)p為定值．

【解析】（1）只要證明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥MN于F，延長(zhǎng)BA交y軸與E點(diǎn)，則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先證明△OAE≌△OCN（ASA），再證明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分線性質(zhì)定理即可解決問(wèn)題．（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周長(zhǎng)為BA+BC是定值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．旋轉(zhuǎn)的方向、角度、旋轉(zhuǎn)中心是它的三要素才能正確解答此題．