【題目】已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠BAC.

(1)如圖1,求證:;

(2)如圖2,當(dāng)BC為直徑時,作BEAD于點E,CFAD于點F,求證:DE=AF;

(3)如圖3,在(2)的條件下,延長BE交⊙O于點G,連接OE,若EF=2EG,AC=2,求OE的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)2.

【解析】

(1)連接OB、OCOD,根據(jù)圓心角與圓周角的性質(zhì)得∠BOD=2BAD,∠COD=2CAD,又AD平分∠BAC,得∠BOD=COD,再根據(jù)圓周角相等所對的弧相等得出結(jié)論.

(2)過點OOMAD于點M,又一組角相等,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例,進(jìn)而得出結(jié)論;

(3)延長EOAB于點H,連接CG,連接OA,BC為⊙O直徑,則∠G=CFE=FEG=90°,四邊形CFEG是矩形,得EG=CF,又AD平分∠BAC,再根據(jù)鄰補角與余角的性質(zhì)可得∠BAF=ABE,∠ACF=CAF,AE=BE,AF=CF,再根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)計算出邊的長,根據(jù)“角角邊”證明出△HBO∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例,進(jìn)而得出結(jié)論.

(1)如圖1,連接OB、OC、OD,

∵∠BAD和∠BOD所對的圓周角和圓心角,

CAD和∠COD所對的圓周角和圓心角,

∴∠BOD=2BAD,COD=2CAD,

AD平分∠BAC,

∴∠BAD=CAD,

∴∠BOD=COD,

=;

(2)如圖2,過點OOMAD于點M,

∴∠OMA=90°,AM=DM,

BEAD于點E,CFAD于點F,

∴∠CFM=90°,MEB=90°,

∴∠OMA=MEB,CFM=OMA,

OMBE,OMCF,

BEOMCF,

=

OB=OC,

==1,

FM=EM,

AM﹣FM=DM﹣EM,

DE=AF;

(3)延長EOAB于點H,連接CG,連接OA.

BC為⊙O直徑,

∴∠BAC=90°,G=90°,

∴∠G=CFE=FEG=90°,

∴四邊形CFEG是矩形,

EG=CF,

AD平分∠BAC,

∴∠BAF=CAF=×90°=45°,

∴∠ABE=180°﹣BAF﹣AEB=45°,

ACF=180°﹣CAF﹣AFC=45°,

∴∠BAF=ABE,ACF=CAF,

AE=BE,AF=CF,

RtACF中,∠AFC=90°,

sinCAF=,即sin45°=,

CF=2×=,

EG=

EF=2EG=2,

AE=3,

RtAEB中,∠AEB=90°,

AB===6,

AE=BE,OA=OB,

EH垂直平分AB,

BH=EH=3,

∵∠OHB=BAC,ABC=ABC

∴△HBO∽△ABC,

==,

OH=1,

OE=EH﹣OH=3﹣1=2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】某校為了解全校1600名學(xué)生每周課外體育活動時間的情況,隨機(jī)調(diào)查了其中的部分學(xué)生,對這些學(xué)生每周課外體育活動時間x(單位:小時)進(jìn)行了統(tǒng)計,根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了一幅統(tǒng)計圖,根據(jù)以上信息及統(tǒng)計圖解答下列問題

1)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為______;

2)求這些學(xué)生每周課外體育活動時間的平均數(shù)________

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【題目】甲、乙兩車從A地出發(fā),勻速駛向B地.甲車以80km/h的速度行駛1h后,乙車才沿相同路線行駛.乙車先到達(dá)B地并停留1h后,再以原速按原路返回,直至與甲車相遇.在此過程中,兩車之間的距離y(km)與乙車行駛時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法:乙車的速度是120km/h;②m=160;③H的坐標(biāo)是(7,80);④n=7.5.

其中說法正確的是(  )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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【題目】已知邊長為5的菱形ABCD中,對角線AC長為6,點E在對角線BD上且tanEAC=,則BE的長為_____

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【題目】如圖,在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中,有線段AB和線段CD,點A、B、C、D均在小正方形的頂點上.

(1)在方格紙中畫出以AB為斜邊的等腰直角三角形ABE,點E在小正方形的頂點上;

(2)在方格紙中畫出以CD為對角線的矩形CMDN(頂點字母按逆時針順序),且面積為10,點M、N均在小正方形的頂點上;

(3)連接ME,并直接寫出EM的長.

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【題目】如圖,直線 y=x+1 與 y 軸交于點 A1,以 OA1為邊,在 y 軸右側(cè)作正方形 OA1B1C1,延長 C1B1交直線 y=x+1 于點 A2,再以 C1A2為邊作正方形,…,這些正方形與直線 y=x+1 的交點分別為 A1,A2,A3,…,An,則點 Bn 的坐標(biāo)為_______

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【題目】已知直線m∥n,點C是直線m上一點,點D是直線n上一點,CD與直線m、n不垂直,點P為線段CD的中點.

(1)操作發(fā)現(xiàn):直線l⊥m,分別交m、n于點A、B,當(dāng)點B與點D重合時(如圖1),連結(jié)PA,請直接寫出線段PAPB的數(shù)量關(guān)系:   

(2)猜想證明:在圖1的情況下,把直線l向右平移到如圖2的位置,試問(1)中的PAPB

的關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

(3)延伸探究:在圖2的情況下,把直線l繞點A旋轉(zhuǎn),使得∠APB=90°(如圖3),若兩平行線m、n之間的距離為2k,求證:PAPB=kAB.

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【題目】在慈善一日捐活動中,學(xué)校團(tuán)總支為了了解本校學(xué)生的捐款情況,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的捐款數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制成下面的統(tǒng)計圖.

1)這50名同學(xué)捐款的眾數(shù)為     元,中位數(shù)為     元;

2)該校共有600名學(xué)生參與捐款,請估計該校學(xué)生的捐款總數(shù).

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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E為對角線AC上一點,CE=CD,連接EB、ED,延長BEAD于點F.求證:DF2=EFBF.

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