Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為

BC

的中點，DE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求弦AC的長；
（3）求直徑AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，BC，則證明OD⊥DE，即可證明DE是⊙O的切線；
（2）由（1）可知DE是圓的切線，利用切割線定理即可求出AC的長；
（3）由垂徑定理可知CH=BH，易證四邊形CHDE是矩形，所以CH=DE=6cm，則BC可求出，利用勾股定理即可求出AB的長．

解答：（1）證明：連接OD，BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵D為

BC

的中點，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC于E，
∴∠CED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵DE是⊙O的切線，
∴DE²=CE•AE，
∵DE=6cm，CE=2cm，
∴AE=18cm，
∴AC=AE-CE=16cm，

（3）解：∵OD⊥BC，
∴CH=BH，
∵CH=DE=6cm，
∴BC=12cm，
∴AB=

AC2+BC2

=20cm．

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、切割線定理以及勾股定理和垂徑定理的運用，解題的關(guān)鍵是證明四邊形CHDE是矩形，再利用勾股定理解題．