【題目】問(wèn)題探究,
(1)如圖①,在矩形ABCD中,AB=2AD,P為CD邊上的中點(diǎn),試比較∠APB和∠ADB的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)如圖②,在正方形ABCD中,P為CD上任意一點(diǎn),試問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)位于何處時(shí)∠APB最大?并說(shuō)明理由;
問(wèn)題解決
(3)某兒童游樂(lè)場(chǎng)的平面圖如圖③所示,場(chǎng)所工作人員想在OD邊上點(diǎn)P處安裝監(jiān)控裝置,用來(lái)監(jiān)控OC邊上的AB段,為了讓監(jiān)控效果最佳,必須要求∠APB最大,已知:∠DOC=60°,OA=400米,AB=200米,問(wèn)在OD邊上是否存在一點(diǎn)P,使得∠APB最大,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)OP的長(zhǎng)和∠APB的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) 結(jié)論:∠APB>∠ADB ,理由見(jiàn)解析;(2) 當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí),∠APB最大,理由見(jiàn)解析;(3) 當(dāng)經(jīng)過(guò)A,B的⊙T與OD相切于P時(shí),∠APB的值最大,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)作PH⊥AB于H,通過(guò)正方形和矩形的性質(zhì)可得∠APB=90°,再根據(jù)∠ADB<90°,即可證明∠APB>∠ADB;
(2)假設(shè)P為CD的中點(diǎn),如圖②中,作△APB的外接圓⊙O,則此時(shí)CD切⊙O于點(diǎn)P,在CD上取任意異于P點(diǎn)的點(diǎn)E,連接AE,與⊙O交于點(diǎn)F,連接BE,BF,根據(jù)∠AFB是△EFB的外角,可得∠AFB>∠AEB,再根據(jù)∠AFB=∠APB,從而可得∠APB>∠AEB,故點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí),∠APB最大;
(3)作TH⊥OC于H,交OD于Q,連接TA,TB,OT.設(shè)TP=TA=TB=r,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AH=HB=100 (m),再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AT=200m,故AT=2AH,可得∠ATH=30°,即∠ATB=2∠ATH=60°,根據(jù)圓周角定理可得∠APB=∠ATB=30°,再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OQ和PQ的長(zhǎng)度,再根據(jù)OP=OQ﹣PQ求解OP的長(zhǎng)度即可.
解:(1)如圖①中,結(jié)論:∠APB>∠ADB.
理由:作PH⊥AB于H.
∵四邊形ABCD是矩形,PH⊥AB,
∴∠ADP=∠DAH=∠AHP=90°,
∴四邊形ADPH是矩形,
∵AB=CD=2AD,DP=PC,
∴DA=DP,
∴四邊形ADPH是正方形,
∴∠APH=45°,同理可證∠BPH=45°,
∴∠APB=90°,
∵∠ADB<90°,
∴∠APB>∠ADB.
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí),∠APB最大,理由如下:
假設(shè)P為CD的中點(diǎn),如圖②中,作△APB的外接圓⊙O,則此時(shí)CD切⊙O于點(diǎn)P,
在CD上取任意異于P點(diǎn)的點(diǎn)E,連接AE,與⊙O交于點(diǎn)F,連接BE,BF,
∵∠AFB是△EFB的外角,
∴∠AFB>∠AEB,
∵∠AFB=∠APB,
∴∠APB>∠AEB,
故點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí),∠APB最大.
(3)如圖③中,當(dāng)經(jīng)過(guò)A,B的⊙T與OD相切于P時(shí),∠APB的值最大,
作TH⊥OC于H,交OD于Q,連接TA,TB,OT.設(shè)TP=TA=TB=r,
∵TA=TB,TH⊥AB,
∴AH=HB=100 (m),
∵∠OHQ=90°,∠O=60°,OH=OA+AH=(400+100)(m),
∴QH=OH=(400+300)(m),∠OQH=30°,
∴TQ=2PT=2r,
∵TH==,
∴2r+=400+300,
整理得:3r2﹣(1600+1200)r+60000+240000=0,
∴(r﹣200)(r﹣1000﹣1200)=0,
∴r=200或1000+1200(舍棄),
∴AT=200m,
∴AT=2AH,
∴∠ATH=30°,∠ATB=2∠ATH=60°,
∴∠APB=∠ATB=30°,
∴,
∴OP=OQ﹣PQ=800+200﹣600=(200+200)(m).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明放學(xué)后從學(xué);丶,出發(fā)分鐘時(shí),同桌小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)作業(yè)卷忘記拿了,立即拿著數(shù)學(xué)作業(yè)卷按照同樣的路線去追趕小明,小強(qiáng)出發(fā)分鐘時(shí),小明才想起沒(méi)拿數(shù)學(xué)作業(yè)卷,馬上以原速原路返回,在途中與小強(qiáng)相遇.兩人離學(xué)校的路程(米)與小強(qiáng)所用時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)圖象中的值;
(2)求小強(qiáng)的速度;
(3)求線段的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍.
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【題目】正方形,,,…,按如圖所示的方式放置,點(diǎn),…和點(diǎn),…分別在直線和軸上.則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線y=x﹣3經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)M,連接AC,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.
①求線段MN的長(zhǎng)d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍);
②點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn),是否存在一點(diǎn)P,使以B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(﹣1,2)和點(diǎn)N(1,﹣2),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.a+c=0
B.無(wú)論a取何值,此二次函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn),且函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度必大于2
C.當(dāng)函數(shù)在x<時(shí),y隨x的增大而減小
D.當(dāng)﹣1<m<n<0時(shí),m+n<
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【題目】在多項(xiàng)式的乘法公式中,完全平方公式是其中重要的一個(gè).
(1)請(qǐng)補(bǔ)全完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程:
,
,
.
(2)如圖,將邊長(zhǎng)為的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分,請(qǐng)你結(jié)合圖給出完全平方公式的幾何解釋.
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【題目】如圖,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將它沿AB方向平移1個(gè)單位,得到正六邊形A′B′C′D′E′F′,則陰影部分A′BCDE′F′的面積是( )
A.3B.4C.D.2
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【題目】如圖1,在等邊和等邊中,,點(diǎn)P在的高上(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè),連接,.
(1)求證:;
(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),延長(zhǎng)交于點(diǎn),請(qǐng)你在圖2中作出圖形,并求出的長(zhǎng);
(3)直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的最小值.
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