Question

已知菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120°，點M在射線AB上，BM=1，∠DMN=60°，射線MN交射線BC于N，則BN=

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：本題需要分兩種情況討論，①點M在線段AB上，②點M在線段AB的延長線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)及解直角三角形的知識，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，分別解出即可．

解答：解：①當點M在線段AB上時，

過點D作DQ⊥AB于點Q，連接BD，延長DM、CB交于一點P，
則AQ=BQ=2，QM=BM=1，DQ=2

3

，
在Rt△DQM中，DM=

(2 3 )2+12

=

13

，
∵BC∥AD，
∴

BP

AD

=

PM

DM

=

BM

AM

=

1

3

，
解得：BP=

4

3

，PM=

13

3

，
∵∠DMN=60°，∠DBC=60°，
∴∠PMN=120°，∠PBD=120°，
∴△PMN∽△PBD，
∴

PN

PD

=

PM

PB

，即

4 3 +BN

13 + 13 3

=

13 3

4 3

，
解得：BN=3；

②當點M在AB延長線上時，

過點D作DQ⊥AB于點Q，連接BD，
則DQ=2

3

，BD=4，DM=

DQ2+QM2

=

21

，
∵BP∥AD，
∴

MP

PD

=

BM

AB

=

1

4

，

BP

AD

=

MB

AM

=

1

5

，
∴BP=

4

5

，
又∵MP+PD=DM=

21

，
∴MP=

21

5

，PD=

4 21

5

，
∵∠PMN=∠DMN=60°，∠PBD=∠CBD=60°，
∴△PBD∽△PMN，
∴

PM

PB

=

PN

PD

，即

21 5

4 5

=

BN- 4 5

4 21 5

，
解得：BN=5．
綜上可得BN=3或5．
故答案為：3或5．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，注意構(gòu)造相似三角形，利用對應(yīng)邊長比例的知識求解．