Question

如圖，直線y1=

1

2

x+3與x、y軸交于點A、B兩點，直線y2=-

1

3

x-2與x軸交于點A，點M是線段AB上的一動點，過M的直線與y軸平行，且交直線y₂于點N，點P在y軸上．若△PMN是等腰直角三角形，則符合條件的點P坐標是

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：設(shè)M（x，

1

2

x+3），則N（x，-

1

3

x-2），求出MN=

5

6

x+5．當(dāng)△PMN是等腰直角三角形時，分三種情況進行討論：①當(dāng)∠PMN=90°，由MN=MP列出方程

5

6

x+5=-x，解方程求出x=-

30

11

，進而求出點P坐標；②當(dāng)∠MNP=90°，由MN=NP列出方程

5

6

x+5=-x，解方程求出x=-

30

11

，進而求出點P坐標；③當(dāng)∠MPN=90°，MP=NP時，過P作PC⊥MN于C，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出PC=

1

2

MN，據(jù)此列出方程-x=

1

2

（

5

6

x+5），解方程求出x=-

30

17

，進而求出點P坐標．

解答：解：設(shè)M（x，

1

2

x+3），則N（x，-

1

3

x-2），MN=（

1

2

x+3）-（-

1

3

x-2）=

5

6

x+5．
△PMN是等腰直角三角形時，可分三種情況進行討論：
①當(dāng)∠PMN=90°，MN=MP時，點P坐標為（0，

1

2

x+3），

5

6

x+5=-x，
解得x=-

30

11

，

1

2

x+3=

1

2

×（-

30

11

）+3=

18

11

，
所以點P₁坐標為（0，

18

11

）；
②當(dāng)∠MNP=90°，MN=NP時，點P坐標為（0，-

1

3

x-2），

5

6

x+5=-x，
解得x=-

30

11

，
-

1

3

x-2=-

1

3

×（-

30

11

）-2=-

12

11

，
所以點P₂坐標為（0，-

12

11

）；
③當(dāng)∠MPN=90°，MP=NP時，過P作PC⊥MN于C，則PC=

1

2

MN．

1

2

[（

1

2

x+3）+（-

1

3

x-2）]=

1

12

x+

1

2

，
點P坐標為（0，

1

12

x+

1

2

），
-x=

1

2

（

5

6

x+5），
解得x=-

30

17

，

1

12

x+

1

2

=

1

12

×（-

30

17

）+

1

2

=

6

17

，
所以點P₃坐標為（0，

6

17

）；
綜上所述，點P坐標為P₁（0，

18

11

）或P₂（0，-

12

11

）或P₃（0，

6

17

）．
故答案為：（0，

18

11

）或（0，-

12

11

）或（0，

6

17

）．

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，同一坐標軸上兩點之間的距離公式，點到坐標軸的距離，綜合性較強，難度適中．運用分類討論、數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．