Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（2，2），對稱軸是直線x=1，頂點為B．

（1）求這條拋物線的表達式和點B的坐標(biāo)；

（2）點M在對稱軸上，且位于頂點上方，設(shè)它的縱坐標(biāo)為m，聯(lián)結(jié)AM，用含m的代數(shù)式表示∠AMB的余切值；

（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點C在x軸上．原拋物線上一點P平移后的對應(yīng)點為點Q，如果OP=OQ，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．頂點B坐標(biāo)為（1，3）．

（2）cot∠AMB=m﹣2．

（3）點Q的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）依據(jù)拋物線的對稱軸方程可求得b的值，然后將點A的坐標(biāo)代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；

（2）過點A作AC⊥BM，垂足為C，從而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；

（3）由平移后拋物線的頂點在x軸上可求得平移的方向和距離，故此QP=3，然后由點QO=PO，QP∥y軸可得到點Q和P關(guān)于x對稱，可求得點Q的縱坐標(biāo)，將點Q的縱坐標(biāo)代入平移后的解析式可求得對應(yīng)的x的值，則可得到點Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，∴x=﹣=1，即 =1，解得b=2．

∴y=﹣x2+2x+c．

將A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．

配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，3）．

（2）如圖所示：過點A作AC⊥BM，垂足為C，則AC=1，C（1，2）．

∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．

（3）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，3），平移后拋物線的頂點坐標(biāo)在x軸上，

∴拋物線向下平移了3個單位．

∴平移后拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．

∵OP=OQ，∴點O在PQ的垂直平分線上．

又∵QP∥y軸，∴點Q與點P關(guān)于x軸對稱．

∴點Q的縱坐標(biāo)為﹣ ．

將y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x= 或x=．

∴點Q的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．