Question

（12分）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4與x軸交于A（－2,0）、B兩點，與y軸交于C點，其對稱軸為直線x＝1.

（1）直接寫出拋物線的解析式 ：

（2）把線段AC沿x軸向右平移，設(shè)平移后A、C的對應(yīng)點分別為A′、C′，當(dāng)C′落在拋物線上時，求A′、C′的坐標；

（3）除（2）中的點A′、C′外，在x軸和拋物線上是否還分別存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出E、F的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）y＝；

（2）A′（0，0），C′（2，4）；

（3）存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點E、F的坐標為：

E（，0），F(xiàn)（，－4）或E（，0），F(xiàn)（，－4）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點A（－2，0）和對稱軸x＝1，得到關(guān)于a，b的二元一次方程組，求出a，b即可；

（2）因為向右平移后的點C′在拋物線上，所以點C與點C′關(guān)于直線x＝1對稱，得到點C′的坐標是（2，4），從而A′的坐標是（0，0）；

（3）注意到點A，C是固定的點，點E，F(xiàn)是動點，所以構(gòu)成的一定是以AC為邊或以AC為對角線的平行四邊形．因此要分類討論：①以AC為邊的平行四邊形有三個，②以AC為對角線的平行四邊形有一個.但要排除（2）中的與點A′，C′重合的情況.

試題解析：（1）y＝；

（2）∵拋物線的解析式：y＝，

∴當(dāng)x＝0時，y＝4. ∴點C（0，4）.

∵拋物線的對稱軸為x＝1，

∴點C關(guān)于x＝1的對稱點C′的坐標為（2，4）.

∴點C向右平移了2個單位長度.

∴則點A向右平移后的點A′的坐標為（0，0）.

∴點A′，C′的坐標分別分（0，0），（2，4）.

（3）存在．設(shè)F（x，）．

若以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，則：

①AC為平行四邊形的邊，如答圖1，

ⅰ）若CFEA為平行四邊形，

則CF1∥AE1且CF1＝AE1，

此時，E1，F(xiàn)1分別與點A′，C′重合，與題意不符，舍去.

ⅱ）若CEFA為平行四邊形，則AC∥FE且AC＝FE，

過點F2作F2D⊥x軸于點D，則易證Rt△AOC≌Rt△E2DF2，

∴DE＝2，DF2＝4．

∴，解得：x1＝,x2＝．

∴F2（，－4），F(xiàn)3（，－4）.

∴E2（，0），E3（，0）．

②若AC為平行四邊形的對角線，如答圖2．

則CF4∥E4A且CF4＝E4A，

∴F4（2，4），E4（－4，0）.

此時，F(xiàn)4與點C′重合，與題意不符，舍去.

綜上所述，存在點E、F，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形，點E、F的坐標為：E（，0），F(xiàn)（，－4）或E（，0），F(xiàn)（，－4）.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)與判定；解一元二次方程；平行四邊形的判定；分類思想.