Question

已知對于任意正整數(shù)n，都有a₁+a₂+…+a_n=n³，則

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n³，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，把兩式相減，得出a_n的表達式，再根據(jù)

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

）進行解答即可．

解答：解：∵當(dāng)n≥2時，有a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n³，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，兩式相減，得a_n=3n²-3n+1，
∴

1

an-1

=

1

3n(n-1)

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

，
=

1

3

（1-

1

2

）+

1

3

（

1

2

-

1

3

）+…+

1

3

（

1

99

-

1

100

），
=

1

3

（1-

1

100

），
=

33

100

．
故答案為：

33

100

．

點評：本題考查的是部分分式，屬規(guī)律性題目，能根據(jù)題意得出

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

）是解答此題的關(guān)鍵．