Question

如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B 落在CD上，落點(diǎn)記為E（不與點(diǎn)C，D重合），點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．若，則BN的長(zhǎng)是   ，的值等于     ；若（，且為整數(shù)），則的值等于       （用含的式子表示）．

Answer 1

，，

試題分析：連接BM，EM，BE，由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對(duì)稱，即可到得MN垂直平分BE，則BM=EM，BN=EN．根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠A=∠D=∠C=90°，設(shè)AB=BC=CD=DA=2，由可得CE=DE=1，設(shè)BN=x，則NE=x，NC=2-x，在Rt△CNE中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，從而得到BN的長(zhǎng)，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，根據(jù)勾股定理可得AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，則AM²+AB²=DM²+DE²．設(shè)AM=y，則DM=2-y，
即可列方程求得的值；當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，連接BE，，不妨令CD=CB=n，則CE=1，設(shè)BN=x，則EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；作MH⊥BC于H，則MH=BC，又點(diǎn)B，E關(guān)于MN對(duì)稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，則NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=，從而可以求得結(jié)果.
連接BM，EM，BE

由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對(duì)稱．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，設(shè)AB=BC=CD=DA=2．
∵，
∴CE=DE=1．
設(shè)BN=x，則NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得，即
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
設(shè)AM=y，則DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得，即
∴
當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，連接BE，，
不妨令CD=CB=n，則CE=1，設(shè)BN=x，則EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=；
作MH⊥BC于H，則MH=BC，

又點(diǎn)B，E關(guān)于MN對(duì)稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=
則：．
點(diǎn)評(píng)：折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．