Question

【問題學(xué)習(xí)】小蕓在小組學(xué)習(xí)時(shí)問小娟這樣一個(gè)問題：已知α為銳角，且sinα=，求sin2α的值．

小娟是這樣給小蕓講解的：

如圖1，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 設(shè)∠BAC=α， 則sinα= = ．易得∠BOC=2α．設(shè)BC=x，則AB=3x，則AC=x．作CD⊥AB于D，求出CD=　　　　　（用含x的式子表示），可求得sin2α==　　　　　．

【問題解決】已知，如圖2，點(diǎn)M，N，P為⊙O上的三點(diǎn)，且∠P=β，sinβ = ，求sin2β的值.

Answer 1

解：． 　  

sin2α==．　

如圖，連接NO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q，連接MQ，MO，過點(diǎn)M作于點(diǎn)R．

在⊙O中，∠NMQ=90°．

∵　∠Q=∠P=β，

∴　∠MON=2∠Q=2β．   

在Rt△QMN中，

∵　sinβ =，

∴　設(shè)MN=3k，則NQ=5k，易得OM=NQ=．

∴  MQ=． 

     ∵ ，  

      ∴  ．

      ∴ MR=．     

        在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON =．