Question

如圖，一張直角三角形硬紙片ABC，∠B=90°，AB=5，AC=13，將紙片頂點(diǎn)B放在半徑為2.4的⊙O上，并使BC經(jīng)過(guò)圓心O，在⊙O不動(dòng)的情況下，將紙片繞著B(niǎo)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)等于∠A的度數(shù)時(shí)，得到△A₁BC₁，問(wèn)直線A₁C₁與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？
（2）在（1）的狀態(tài)下，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)∠C的度數(shù)，得到△A₂BC₂，那么A₂C₂與⊙O的位置關(guān)系是否發(fā)生變化？通過(guò)計(jì)算或推理說(shuō)明你的理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）先利用勾股定理計(jì)算出BC=12，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A=∠A₁，∠ABA₁等于旋轉(zhuǎn)角，BC₁=BC=12，BA₁=BA=5，A₁C₁=AC=13，則∠ABA₁=∠A，所以∠ABA₁=∠A₁，可判斷A₁C₁∥AB，則BD⊥A₁C₁，軟件利用面積法可計(jì)算出BD=

60

13

，由于BD＜2.4×2，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷直線A₁C₁與⊙O相交；
（2）在（1）的狀態(tài)下，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)∠C的度數(shù)，得到△A₂BC₂，則BA₂在BC上，BC₂在AB的延長(zhǎng)線上，如圖3，作OH⊥A₂C₂于H，A₂O=5-2.4=2.6，易得△OHA₂∽△C₂BA₂，利用相似比計(jì)算出OH=2.4，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷A₂C₂與⊙O相切．

解答：解：（1）直線A₁C₁與⊙O相交．理由如下：
∵∠B=90°，AB=5，AC=13，
∴BC=

AC2-AB2

=12，
∵△ABC繞著B(niǎo)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△A₁BC₁，
∴∠A=∠A₁，∠ABA₁等于旋轉(zhuǎn)角，BC₁=BC=12，BA₁=BA=5，A₁C₁=AC=13，
∴∠ABA₁=∠A，
∴∠ABA₁=∠A₁，
∴A₁C₁∥AB，
∴BD⊥A₁C₁，
∵

1

2

BD•A₁C₁=

1

2

BA₁•BC₁，
∴BD=

5×12

13

=

60

13

，
∵BD＜2.4×2，
∴直線A₁C₁與⊙O相交；
（2）A₂C₂與⊙O的位置關(guān)系發(fā)生變化．理由如下：
在（1）的狀態(tài)下，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)∠C的度數(shù)，得到△A₂BC₂，則BA₂在BC上，BC₂在AB的延長(zhǎng)線上，如圖3，
作OH⊥A₂C₂于H，A₂O=5-2.4=2.6，
∵△OHA₂∽△C₂BA₂，
∴

OH

BC2

=

A2O

A2C2

，即

OH

12

=

2.6

13

，
∴OH=2.4，
即點(diǎn)O到A₂C₂的距離等于圓的半徑，
∴A₂C₂與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．