Question

（1）如圖（1），AB⊥BD，CD⊥BD，AD與BC相交于點(diǎn)E，EF⊥BD，試說明：

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；
（2）如圖（2）若AB∥EF∥CD，請直接回答（1）中結(jié)論是否成立；
（3）在（2）中找出S_△ABD、S_△BED和S_△BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證EF∥AB∥CD，則△ABD∽△EFD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得

EF

AB

=

DF

BD

，同理

EF

CD

=

BF

BD

，兩式相加即可證得；
（2）由題意知，兩直線平行是很關(guān)鍵的條件，要根據(jù)三角形平行線分線段成比例，找出關(guān)系，然后相加就得到結(jié)果；
（3）要用到第一問的結(jié)論，作出各個三角形的高，再把各面積用邊表示出來，即可找到關(guān)系．

解答：（1）證明：∵AB⊥BD，EF⊥BD，
∴EF∥AB，
∴△ABD∽△EFD，
∴

EF

AB

=

DF

BD

，
同理

EF

CD

=

BF

BD

，
∴

EF

AB

+

EF

CD

=

DF

BD

+

BF

BD

=

BD

BD

=1，即（

1

AB

+

1

CD

）•EF=1，
∴

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；

（2）成立．
證明：∵AB∥EF，
∴

EF

AB

=

DF

BD

，
∵CD∥EF
∴

EF

CD

=

BF

BD

，
∴∴

EF

AB

+

EF

CD

=

DF

BD

+

BF

BD

=

BD

BD

=1，
∴

1

AB

+

1

CD

=

1

EF

；

（3）關(guān)系式為：

1

S△ABD

+

1

S△BDC

=

1

S△BED

．
證明如下：分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K
由題設(shè)可得：

1

AM

+

1

CK

=

1

EN

，
∴

2

BD•AM

+

2

BD•CK

=

2

BD•EN

，即

1

1 2 •BD•AM

+

1

1 2 •BD•CK

=

1

1 2 •BD•EN

，
又∵

1

2

•BD•AM=S_△ABD，

1

2

•BD•CK=S_△BCD，
∴

1

2

•BD•EN=S_△BED，
∴

1

S△ABD

+

1

S△BDC

=

1

S△BED

．

點(diǎn)評：考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確通過相似三角形的性質(zhì)把線段的比進(jìn)行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．同時考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用．