Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=9cm，BC=6cm，O在AB上，若以O(shè)為圓心，畫弧與BC相切于B，與CD相切于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連結(jié)FO，若把扇形BOF剪下，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（不計(jì)接口尺寸）．求：
（1）圓錐的底面半徑；
（2）陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,圓錐的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OE，由CD與圓O相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于CD，且OE為圓的半徑，由AB-OB求出OA的長，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出AF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠AOF的值，確定出∠AOF的度數(shù)，進(jìn)而得到∠BOF的度數(shù)，利用弧長公式求出弧BF長，即為圓錐的底面周長，求出圓錐底面半徑即可；
（2）陰影部分面積=矩形AOED面積-三角形AOF面積-扇形EOF面積，求出即可．

解答：解：（1）連接OE，
∵CD與圓O相切，
∴OE⊥CD，且OE=OB=OF=BC=6cm，
∴矩形ABCD中，OA=AB-OB=9-6=3cm，
在Rt△AOF中，OA=3cm，OF=6cm，
∴cos∠AOF=

3

6

=

1

2

，即∠AOF=60°，AF=

OF2-OA2

=3

3

cm，
∴∠BOF=120°，
∴l(xiāng)弧長=

120π×6

180

=4π，
則圓錐得地面半徑為

4π

2π

=2cm；
（2）∵∠BOF=120°，∠EOB=90°，
∴∠EOF=30°，
∴S_陰影=S_矩形AOED-S_△AOF-S_扇形EOF=3×6-

1

2

×3×3

3

-

30π×62

360

=18-

9 3

2

-3π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積公式，弧長公式，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．