Question

如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA相鄰的外角平分線CF于點F。

（1）求證：EO=FO

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，可得∠BCE=∠ACE，又因為MN∥BC，從而∠BCE =∠FEC=∠ACE,得到EO=CO，同理，FO=CO，等量代換可得EO=FO．

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是平行四邊形，當∠ECF=90°時，平行四邊形AECF是矩形．

試題解析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，可得∠BCE=∠ACE，

又∵MN∥BC，

∴∠BCE =∠FEC=∠ACE,EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO．

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是平行四邊形，當∠ECF=90°時，平行四邊形AECF是矩形，∵EO=FO，點O是AC的中點．

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF平分∠BCA的外角，CE平分∠BCA

∴∠ACE +∠ACF= ×180°=90°．

即∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

考點：1角平分線的定義；2．矩形的判定；3等三角形的判定