Question

（1）如圖（1）P為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=2，∠APB=30°，當(dāng)P在哪個(gè)位置時(shí)，P到AB距離最大？請(qǐng)?jiān)趫D（1）中畫(huà)出點(diǎn)P的位置和表示最大距離的線段PM，此時(shí)PM=

 

；
（2）如圖（2），以圖（1）中的AB為邊，向⊙O外作等邊△ABC，連接PC，求PC的最大值；
（3）如圖（3）∠P=30°，等腰梯形ABCD的上底AB=2，A、B兩點(diǎn)在∠P的兩邊上滑動(dòng)，∠C=60°AD=4，連接DP，則DP的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)到AB的距離最大，如圖1，作PM⊥AB于M，根據(jù)垂徑定理的推理得到PM過(guò)點(diǎn)O，AM=BM，再判斷△OAB為等邊三角形，所以O(shè)A=OB=AB=2，∠AOM=30°，則可利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AM，OM，則即可得到PM的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，CP最長(zhǎng)，如圖2，作PM⊥AB于M，點(diǎn)P′是優(yōu)弧AB上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連接OP′，利用三角形三邊的關(guān)系可證明PC＞P′C，
由（1）得PM=2+

3

，且AM=BM，再由△ABC為等邊三角形得到CM⊥AB，CM=OM=

3

，于是可判斷點(diǎn)M在PC上，于是利用PC=PM+MC求解；
（3）作△PAB的外接圓⊙O，如圖3，連接OD交⊙O于P，此時(shí)DP的值最小，作BH⊥CD于H，OM⊥AM于M，交CD于N，由（1）可得OA=2，OM=

3

，AM=BM，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得BC=AD=4，在Rt△BCH中可計(jì)算出CH，BH，則可得到MN與BH，再計(jì)算出CN，于是得到ON=MN-OM=

3

，DN=CN=3，然后在Rt△DON中利用勾股定理計(jì)算出OD，然后利用DP=OD-OP求解．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)到AB的距離最大，如圖1，
作PM⊥AB于M，
∵弧PA=弧PB，PM⊥AB，
∴PM過(guò)點(diǎn)O，AM=BM，
∴∠AOB=2∠APB=2×30°=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵∠AOM=

1

2

∠AOB=30°，
∴AM=

1

2

OA=1，OM=

3

AM=

3

，
∴PM=OP+PM=2+

3

．
故答案為2+

3

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，PC最長(zhǎng)，如圖2，作PM⊥AB于M，
點(diǎn)P′是優(yōu)弧AB上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連接OP′，
∵OP′+OC＞P′C，
而OP=OP′，
∴PC＞P′C，
由（1）得PM=2+

3

，且AM=BM，
∵△ABC為等邊三角形，
∴CM⊥AB，CM=OM=

3

，
∴點(diǎn)M在PC上，
∴PC=PM+MC=2+

3

+

3

=2+2

3

；
（3）作△PAB的外接圓⊙O，如圖3，
連接OD交⊙O于P，此時(shí)DP的值最小，
作BH⊥CD于H，OM⊥AM于M，交CD于N，
由（1）可得OA=2，OM=

3

，AM=BM，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴BC=AD=4，
在Rt△BCH中，∠C=60°，
∴∠CBH=30°，
∴CH=

1

2

BC=2，BH=

3

CH=2

3

，
∴MN=BH=2

3

，CN=NH+CH=BM+CH=1+2=3，
∴ON=MN-OM=

3

，DN=CN=3，
在Rt△DON中，OD=

ON2+DN2

=2

3

，
∴DP=OD-OP=2

3

-2．
故答案為2

3

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)；會(huì)根據(jù)勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算．