Question

如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD，求證：BC+AD＞AB+CD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：在OD上截取OB'=OB，在OC上截取OC'=OA，連接C'B'，DC'，CB'，設(shè)CB'，DC'交于點E，易證△ABO≌△C'B'O可得AB=B'C'，易證△DOA≌△DOC'可得AD=DC'，易證△COB≌△COB'可得BC=B'C，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得CB'+DC'＞AB+CD即可解題．

解答：解：在OD上截取OB'=OB，在OC上截取OC'=OA，連接C'B'，DC'，CB'，設(shè)CB'，DC'交于點E（如圖），

在△ABO和△C'B'O中，

OC′=OA ∠AOB=∠C′OB′ OB′=OB

，
∴△ABO≌△C'B'O（SAS），
∴AB=B'C'，
在△DOA和△DOC'中，

OA=OC′ ∠AOD=∠C′OD OD=OD

，
∴△DOA≌△DOC'（SAS），
∴AD=DC'，
在△COB和△COB'中，

BO=B′O ∠BOC=∠B′OC CO=CO

，
∴△COB≌△COB'（SAS），
∴BC=B'C，
∵在△B'C'E中，B'E+C'E＞B'C'，①
在△CDE中，CE+DE＞CD，②
①+②得：CE+C'E+DE+B'E＞B'C'+CD，
∴CB'+DC'＞AB+CD，
∴BC+AD＞AB+CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證三對三角形全等是解題的關(guān)鍵．