Question

如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，5），AD是∠BAC的平分線，交y軸于點(diǎn)E．
（1）如圖（1），若BO=4CO，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)和△ABC的面積；
（2）若點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸運(yùn)動，試判斷∠ABC，∠ACB和∠BED之間存在什么等量關(guān)系，為什么？
（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸運(yùn)動（不與A重合），（2）中的結(jié)論是否還成立？請畫出圖形，并寫出你的判斷（無需寫出說理過程）．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，再求出OC，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出AC，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-2∠CAD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠AEO=90°-∠CAD，然后整理即可得解；
（3）分點(diǎn)C在OA上時(shí)，利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義表示出∠OAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠OAE，然后整理即可得解；點(diǎn)C在射線OA上時(shí)，表示出∠CAD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出∠OAE，然后根據(jù)對頂角相等解答．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，5），
∴OA=3，OB=5，
∵BO=4CO，
∴CO=

5

4

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

5

4

，0），
AC=CO+OA=

5

4

+3=

17

4

，
∴△ABC的面積=

1

2

×

17

4

×3=

51

8

；

（2）∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-2∠CAD，
在△AOE中，∠AEO=90°-∠CAD，
∵∠BED=∠AEO（對頂角相等），
∴∠BED=90°-∠CAD，
∴∠ABC+∠ACB=2∠BED；

（3）∠ABC+∠ACB=2∠BED不一定成立．
如圖1，點(diǎn)C在OA上時(shí)，∠OAE=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB），
由三角形的外角性質(zhì)得，∠OAE=∠BED-90°，
所以，

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）=∠BED-90°，
所以，∠ABC+∠ACB+2∠BED=360°；
如圖2，點(diǎn)C在射線OA上時(shí)，∠CAD=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB），
∠OAE=90°-∠BED，
∵∠CAD=∠OAE（對頂角相等），
∴

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-∠BED，
∴∠ABC+∠ACB=2∠BED．
綜上所述，點(diǎn)C在OA上時(shí)結(jié)論不成立，點(diǎn)C在射線OA上時(shí)，結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）分情況討論．