Question

已知拋物線y=ax²-4ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2），頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．將直線AB向下平移，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若D是線段CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)A的坐標(biāo)和頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，先求得拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)求得直線AB的解析式，進(jìn)而設(shè)出直線PC的解析式y(tǒng)=

1

2

x+b，因?yàn)镈是線段CP的中點(diǎn)，得出P的縱坐標(biāo)=2b，P的橫坐標(biāo)等于OC=2b，然后根據(jù)以上等式求得b的值，即可求得P的坐標(biāo)；

解答：解：∵拋物線y=ax²-4ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2），
∴c=2，
∵y=ax²-4ax+2=a（x-2）²-4a+2，頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，
∴a=-

1

4

，拋物線的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為：（2，3），
∴拋物線的解析式為：y=-

1

4

x²+x+2，直線AB的解析式為：y=

1

2

x+2，
∵直線PC的斜率為

1

2

，
設(shè)直線PC的解析式為：y=

1

2

x+b，
∵D是線段CP的中點(diǎn)，
∴P的縱坐標(biāo)為2b，
代入得橫坐標(biāo)x=2b，
∴P（2b，2b）
∴2b=-

1

4

x²+x+2，解得：x=2+2

3-2b

，x=2-2

3-2b

，
∴2+2

3-2b

=2b，2-2

3-2b

=2b，
整理得：b²=2，
∴b=

2

，b=-

2

，
∴P的坐標(biāo)為（2

2

，2

2

）或（-2

2

，-2

2

）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，三角形中位線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等，本題是二次函數(shù)的綜合題，根據(jù)題意找出交點(diǎn)的特點(diǎn)是本題的關(guān)鍵；