如圖1,矩形紙片ABCD中,AB=2
3
,BC=6,將矩形沿對(duì)角線AC剪開,解答以下問題:
(1)將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,△A1CD1是旋轉(zhuǎn)后的新位置(圖2),
①試判斷△ACA1的形狀,并說明理由.
②求A,A1的距離;
(2)將△ACD沿對(duì)角線AC向下翻折(點(diǎn)A、點(diǎn)C位置不動(dòng),△ACD和△ABC落在同一平面內(nèi)),△ACD2是翻折后的新位置(圖3),AD2交BC于E,求AE的長(zhǎng).
考點(diǎn):幾何變換綜合題
專題:
分析:(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得AC與CA1的關(guān)系,根據(jù)等邊三角形的判定,可得答案;
②根據(jù)勾股定理,可得AC的長(zhǎng)度,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可得答案;
(2)根據(jù)翻折得到的圖形與原圖形相似,可得△AD2C與△ADC的關(guān)系,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得D2C與AB的關(guān)系,根據(jù)全等三角形的判定,可得AE與CE的關(guān)系,根據(jù)勾股定理,可得AE的長(zhǎng).
解答:解:(1)①△ACA1是等邊三角形,理由如下
∵將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,△A1CD1是旋轉(zhuǎn)后的新位置,
∴AC=CA1,∠ACA1=60°,
∴△ACA1是等邊三角形;
②在△ABC中,由勾股定理,得
AC=
AB2+BC2
=4
3
,
∵△ACA1是等邊三角形,
∴AA1=4
3
;
(2)如圖3:

∵四邊形ABCD是矩形紙片,
∴AB=CD.
由翻折,得△AD2C≌△ADC,
∴D2C=DC,∠AD2C=∠ADC=90°,
在△ABE和△CD2E中,
∠ABE=∠CD2E
∠AEB=∠CED2
AB=CD2
,
∴△ABE≌△CD2E(AAS),
∴AE=CE.
設(shè)AE=CE=x,BE=6-x,AB=2
3
,
在Rt△ABE中,由勾股定理,得
AB2+BE2=AE2,
即(2
3
2+(6-x)2=x2,
解得x=4,
AE=4.
點(diǎn)評(píng):本題考查幾何變換綜合題,利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),題目較為簡(jiǎn)單.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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,n=
 

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,藝術(shù)類讀物所在扇形的圓心角是
 
度;
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