Question

如圖，直線l：y=-

3

4

x+9與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線l上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求OA、OB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)S_△ABP=

1

3

S_△ABO時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等（不與△ABO重合），請(qǐng)求出所有符合條件的直線PQ的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分別令y=0，x=0可求出OA和OB的長(zhǎng)；
（2）可求出△ABO的面積，由條件可知△OBP的面積是△ABO面積的

2

3

，設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出OP的長(zhǎng)度，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由條件可知△APQ為直角三角形，A點(diǎn)不可能為直角頂點(diǎn)，分P和Q為直角頂點(diǎn)兩種情況討論，再由全等得到線段相等，可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出直線PQ的解析式．

解答：解：
（1）令y=0，解得x=12，所以O(shè)A=12，令x=0，解得y=9，所以O(shè)B=9；
（2）S_△ABO=

1

2

AO•BO=

1

2

×12×9=54，由S_△ABP=

1

3

S_△ABO=18，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），由題意可知P點(diǎn)應(yīng)該在x軸的正半軸，所以O(shè)P=x，則AP=|x-12|，則S_△ABP=

1

2

•AP•OB=

1

2

×9×|x-12|=

9

2

|x-12|=18，解得x=8或16，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）或（16，0）；
（3）由條件可知△APQ為直角三角形，A點(diǎn)不可能為直角頂點(diǎn)，
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)P作x軸的垂線，此時(shí)有AP=AO=12，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）（與△AOB重合，舍去）或（24，0），此時(shí)直線PQ的解析式為x=24，

當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)P作PQ垂直直線l，垂足為Q，由OA=12，OB=9，可求得AB=15，由全等可得PA=AB=15，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）或（27，0）

因?yàn)橹本�l的斜率為-

3

4

，所以直線PQ的斜率為

4

3

，
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）時(shí)，直線PQ的解析式為：y=

4

3

（x+3），即y=

4

3

x+4，
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（27，0）時(shí)，直線PQ的解析式為：y=

4

3

（x-27），即y=

4

3

x-36，
綜上可知滿足條件的直線PQ的解析式為x=24或y=

4

3

x+4或y=

4

3

x-36．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)解析式的求法及全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．