Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標是（-1，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，寫出點P的坐標（不要求寫解題過程）．

 

Answer 1

（1）；

（2）P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）點P的坐標是：（，2）或（，2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)A的坐標，即可求得OA的長，則B、C的坐標即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）分點A為直角頂點時，和C的直角頂點兩種情況討論，根據(jù)OA=OC，即可列方程求解；

（3）據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點，則DF=OC，即可求得P的縱坐標，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標，得到P的坐標．

試題解析：（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．

設(shè)拋物線的解析式是，

則，解得：，

則拋物線的解析式是：；

（2）存在．

第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

設(shè)P（，），則，

解得：（舍去），．∴，

即P（2，6）．

第二種情況，當點A為直角頂點時，過A作AP2，AC交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．∴P2N∥x軸，

由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，

設(shè)P2（，），則，解得：，（舍去），

∴，則P2的坐標是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，則AC=，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點．

又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴點P的縱坐標是2．則，解得：，

∴當EF最短時，點P的坐標是：（，2）或（，2）．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．等腰三角形的判定與性質(zhì)．