Question

觀察下列各式：
1=1²-0²，
3=2²-1²，
5=3²-2²，
7=4²-3²
…
你能否得出結(jié)論：所所有奇數(shù)都可以表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差？所有偶數(shù)也能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差嗎？與同伴進(jìn)行交流．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：由題意可知：對(duì)于任意的奇數(shù)2n-1=n²-（n-1）²；
設(shè)偶數(shù)A=m²-n²進(jìn)一步利用平方差公式和數(shù)的奇偶性分析探討得出答案即可．

解答：解：∵1=1²-0²，
3=2²-1²，
5=3²-2²，
7=4²-3²
…
∴2n-1=n²-（n-1）²，
即所有奇數(shù)都可以表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差；
設(shè)偶數(shù)A=m²-n²（m、n均為自然數(shù)）
A=（m+n）（m-n），
m+n與m-n同奇或同偶，若要乘積為偶數(shù)，只有m+n與m-n同偶．
m、n同為偶數(shù)或同為奇數(shù)（這是因?yàn)槿鬽、n一奇一偶，則和、差均為奇數(shù)），
m、n同為偶數(shù)時(shí)，設(shè)m=2p，n=2q （p、q均為自然數(shù)），
A=（m+n）（m-n）=（2p+2q）（2p-2q）=4（p+q）（p-q），
4是A的因子，即A能被4整除．
m、n同為奇數(shù)時(shí)，設(shè)m=2p+1，n=2q+1 （p、q均為自然數(shù)），
A=（m+n）（m-n）=（2p+1+2q+1）（2p+1-2q-1）=4（p+q+1）（p-q），
4是A的因子，即A能被4整除．
綜上，只有當(dāng)偶數(shù)是4的整倍數(shù)時(shí)，才有可能能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差（也不一定可以），是2的奇數(shù)倍時(shí)，一定不能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差．因此命題“所有偶數(shù)都能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差”是錯(cuò)誤的．

點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字的變化規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．