Question

如圖，AB是半圓的直徑，BD是半圓的切線(xiàn)，C是半圓上任意一點(diǎn)，過(guò)C作BD的垂線(xiàn)，垂足為D，求證：AC是ED和AB的比例中項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出AB⊥BD，∠BAE=∠EBD，根據(jù)圓周角的性質(zhì)得出∠AEB=90°，通過(guò)證得CD∥AB，根據(jù)平行弦的性質(zhì)得出

AC

=

BE

，從而得出AC=BE，通過(guò)△ABE∽△BED，求得AB：BE=BE：ED，進(jìn)而得出AB：AC=AC：ED．

解答：解：∵AB是半圓的直徑，BD是半圓的切線(xiàn)，
∴AB⊥BD，∠BAE=∠EBD，∠AEB=90°
∵CD⊥BD，
∴CD∥AB，
∴

AC

=

BE

，
∴AC=BE，
∵∠BAE=∠EBD，∠AEB=∠D=90°，
∴△ABE∽△BED，
∴AB：BE=BE：ED，
∴AB：AC=AC：ED，
即AC是ED和AB的比例中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角的性質(zhì)，平行弦的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)等，熟練掌握和運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．