Question

如圖，AB是半圓O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，點(diǎn)E、F是垂足，若BF交半圓于點(diǎn)G，求證：
（1）EC=FD．
（2）

AC

=

DG

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,梯形中位線定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）過點(diǎn)O作OH⊥EF于點(diǎn)H，根據(jù)AE⊥CD，BF⊥CD，OH⊥CD可知AE∥OH∥BF，再根據(jù)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)得出OH是梯形ABFE的中位線，故EH=FH，再由垂徑定理得出CH=DH，故可得出結(jié)論；
（2）連接AC、AD、AG、DG，由AB是圓O的直徑得出∠AGB=90°．再根據(jù)AE⊥CD，BF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，可知四邊形AEFG是矩形，故AE=GF，EF∥AG，∠ADE=∠DAG，由此可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：過點(diǎn)O作OH⊥EF于點(diǎn)H，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OH⊥CD，
∴AE∥OH∥BF．
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OH是梯形ABFE的中位線，
∴EH=FH．
∵點(diǎn)O過圓心，
∴CH=DH，
∴EC=FD．

（2）證明：連接AC、AD、AG、DG，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AGB=90°．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，
∴四邊形AEFG是矩形，
∴AE=GF，EF∥AG，
∴∠ADE=∠DAG，
∴

AC

=

DG

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．